Номер 656, страница 169 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 656, страница 169.

656. Начертите:

1) остроугольный треугольник;

2) тупоугольный треугольник.

Постройте все высоты этого треугольника.

1) остроугольный треугольник

Остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все три внутренних угла являются острыми (т.е. меньше $90^\circ$). Высота треугольника — это отрезок перпендикуляра, проведенного из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Для построения всех высот в остроугольном треугольнике $ABC$ выполним следующие действия:

1. Из вершины $A$ проводим перпендикуляр к стороне $BC$. Точку пересечения обозначаем $H_a$. Отрезок $AH_a$ является высотой.
2. Из вершины $B$ проводим перпендикуляр к стороне $AC$. Точку пересечения обозначаем $H_b$. Отрезок $BH_b$ является высотой.
3. Из вершины $C$ проводим перпендикуляр к стороне $AB$. Точку пересечения обозначаем $H_c$. Отрезок $CH_c$ является высотой.

На чертеже показан остроугольный треугольник $ABC$ и его высоты $AH_a$, $BH_b$ и $CH_c$.

Как видно из построения, в остроугольном треугольнике все три высоты пересекаются в одной точке (ортоцентр $H$), которая расположена внутри треугольника.

Ответ: Построение высот остроугольного треугольника показано на чертеже. Все высоты находятся внутри треугольника и пересекаются в одной точке.

---

2) тупоугольный треугольник

Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из внутренних углов является тупым (т.е. больше $90^\circ$). Построение высот в таком треугольнике имеет свои особенности.

Для построения всех высот в тупоугольном треугольнике $ABC$, где $\angle C$ — тупой, выполним следующие действия:

1. Проводим высоту из вершины тупого угла $C$ к стороне $AB$. Основание высоты $H_c$ будет лежать на стороне $AB$. Эта высота находится внутри треугольника.
2. Для проведения высоты из вершины острого угла $A$, необходимо продлить противоположную сторону $BC$. Затем из точки $A$ опускаем перпендикуляр на прямую, содержащую $BC$. Точка пересечения $H_a$ будет лежать на продолжении стороны. Высота $AH_a$ находится вне треугольника.
3. Аналогично, для проведения высоты из вершины острого угла $B$, продлеваем сторону $AC$ и опускаем перпендикуляр из $B$ на прямую, содержащую $AC$. Точка пересечения $H_b$ будет лежать на продолжении стороны. Высота $BH_b$ также находится вне треугольника.

На чертеже показан тупоугольный треугольник $ABC$ ($\angle C > 90^\circ$) и его высоты. Пунктиром показаны продолжения сторон и высот.

В тупоугольном треугольнике прямые, содержащие высоты, также пересекаются в одной точке (ортоцентр $H$), но эта точка всегда находится вне треугольника.

Ответ: Построение высот тупоугольного треугольника показано на чертеже. Одна высота (из вершины тупого угла) лежит внутри треугольника, а две другие — снаружи. Прямые, содержащие высоты, пересекаются в одной точке вне треугольника.

656. Постройте остроугольный треугольник по периметру, одному из углов и высоте, проведённой из вершины другого угла.