Номер 655, страница 169 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 655, страница 169.

655. Начертите произвольный угол. Разделите его на четыре равные части.

Для того чтобы разделить произвольный угол на четыре равные части, нужно последовательно применить построение биссектрисы угла с помощью циркуля и линейки. Биссектриса делит угол на две равные части. Чтобы получить четыре части, нужно выполнить это построение трижды.

Порядок действий:

1. Начертим произвольный угол, назовем его $\angle AOB$ с вершиной в точке $O$.

2. Построим биссектрису угла $\angle AOB$. Для этого из вершины $O$ проведем циркулем дугу, пересекающую стороны угла в точках $P$ и $Q$. Затем из точек $P$ и $Q$ проведем две дуги одинакового радиуса так, чтобы они пересеклись внутри угла в точке $C$. Луч $OC$ является биссектрисой угла $\angle AOB$, и теперь мы имеем два равных угла: $\angle AOC = \angle COB$.

3. Теперь необходимо разделить пополам каждый из двух новых углов.

4. Построим биссектрису угла $\angle AOC$. Обозначим точку пересечения луча $OC$ с первой дугой (той, что с центром в $O$) как $R$. Используя точки $P$ и $R$ на сторонах этого угла, аналогично шагу 2, строим его биссектрису — луч $OD$. Таким образом, $\angle AOD = \angle DOC$.

5. Построим биссектрису угла $\angle COB$. Используя точки $R$ и $Q$ на сторонах этого угла, строим его биссектрису — луч $OE$. Таким образом, $\angle COE = \angle EOB$.

Поскольку $\angle AOC = \angle COB$, то и их половины равны между собой. В результате лучи $OD$, $OC$ и $OE$ делят исходный угол $\angle AOB$ на четыре равных угла: $\angle AOD = \angle DOC = \angle COE = \angle EOB$.

Ответ: Сначала нужно разделить исходный угол пополам с помощью построения биссектрисы. Затем для каждого из двух получившихся равных углов нужно также построить биссектрису. В результате исходный угол будет разделен тремя построенными лучами на четыре равные части.

655. Постройте треугольник по периметру и двум углам.