Номер 650, страница 162 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 650, страница 162.

650. В треугольнике $ABC$ $AB = BC$, отрезки $AM$ и $CK$ — медианы этого треугольника. Докажите, что $MK \parallel AC$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, отрезки $AM$ и $CK$ являются медианами этого треугольника.

По определению медианы, точка $K$ является серединой стороны $AB$, а точка $M$ является серединой стороны $BC$. Из этого следует, что:
$BK = \frac{1}{2} AB$
$BM = \frac{1}{2} BC$

Теперь сравним треугольники $\triangle KBM$ и $\triangle ABC$.

1. У этих треугольников есть общий угол $\angle B$.

2. Рассмотрим отношение сторон, образующих этот угол:
$\frac{BK}{AB} = \frac{\frac{1}{2} AB}{AB} = \frac{1}{2}$
$\frac{BM}{BC} = \frac{\frac{1}{2} BC}{BC} = \frac{1}{2}$

Поскольку $\frac{BK}{AB} = \frac{BM}{BC}$, стороны треугольника $KBM$, прилежащие к углу $\angle B$, пропорциональны сторонам треугольника $ABC$, прилежащим к тому же углу.

Следовательно, по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), треугольник $KBM$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle KBM \sim \triangle ABC$).

Из подобия треугольников следует равенство их соответственных углов, а именно $\angle BKM = \angle BAC$.

Углы $\angle BKM$ и $\angle BAC$ являются соответственными при прямых $MK$ и $AC$ и секущей $AB$. Так как эти соответственные углы равны, то по признаку параллельности прямых, прямые $MK$ и $AC$ параллельны.

Таким образом, $MK \parallel AC$, что и требовалось доказать. Стоит отметить, что для этого доказательства условие $AB = BC$ не является необходимым, так как утверждение верно для любого треугольника.

Ответ: Доказано, что $MK \parallel AC$.

650. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и сумме двух других сторон.