Номер 644, страница 161 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 644, страница 161.

644. Каждый из углов $BAC$ и $ACB$ треугольника $ABC$ разделили на три равные части (рис. 354).

Докажите, что $\angle AMN = \angle CMN$.

Рис. 354

Доказательство:

Обозначим величины равных частей углов $A$ и $C$ через $\alpha$ и $\gamma$ соответственно. То есть, $\angle BAC = 3\alpha$ и $\angle ACB = 3\gamma$.

Пусть $l_{A1}$ и $l_{A2}$ — лучи, исходящие из вершины $A$ и делящие $\angle BAC$ на три равные части, причем $l_{A1}$ расположен ближе к стороне $AB$, а $l_{A2}$ — к стороне $AC$. Аналогично, пусть $l_{C1}$ и $l_{C2}$ — лучи из вершины $C$, делящие $\angle ACB$ на три равные части, причем $l_{C1}$ расположен ближе к стороне $CB$, а $l_{C2}$ — к стороне $CA$.

Таким образом, мы имеем следующие равенства углов: $\angle BAl_{A1} = \angle l_{A1}Al_{A2} = \angle l_{A2}AC = \alpha$. $\angle BCl_{C1} = \angle l_{C1}Cl_{C2} = \angle l_{C2}CA = \gamma$.

Согласно рисунку, точка $M$ является точкой пересечения лучей $l_{A1}$ и $l_{C1}$, а точка $N$ — точкой пересечения лучей $l_{A2}$ и $l_{C2}$. Требуется доказать, что $\angle AMN = \angle CMN$.

Найдем углы в треугольниках $\triangle AMC$ и $\triangle ANC$, а также углы, образованные лучами, проходящими через точки $M$ и $N$. В $\triangle AMC$: $\angle MAC = \angle l_{A1}AC = \angle l_{A1}Al_{A2} + \angle l_{A2}AC = \alpha + \alpha = 2\alpha$. $\angle MCA = \angle l_{C1}CA = \angle l_{C1}Cl_{C2} + \angle l_{C2}CA = \gamma + \gamma = 2\gamma$. Следовательно, $\angle AMC = 180^\circ - (2\alpha + 2\gamma)$.

В $\triangle ANC$: $\angle NAC = \angle l_{A2}AC = \alpha$. $\angle NCA = \angle l_{C2}CA = \gamma$.

Углы $\angle MAN$ и $\angle MCN$ образованы соответствующими парами лучей: $\angle MAN = \angle l_{A1}Al_{A2} = \alpha$. $\angle MCN = \angle l_{C1}Cl_{C2} = \gamma$.

Применим теорему синусов к треугольнику $\triangle ANC$: $\frac{AN}{\sin(\angle NCA)} = \frac{CN}{\sin(\angle NAC)} \implies \frac{AN}{\sin \gamma} = \frac{CN}{\sin \alpha}$. Из этого соотношения следует: $AN \cdot \sin \alpha = CN \cdot \sin \gamma$.

Теперь применим теорему синусов к треугольникам $\triangle AMN$ и $\triangle CMN$. Для $\triangle AMN$: $\frac{MN}{\sin(\angle MAN)} = \frac{AN}{\sin(\angle AMN)} \implies \frac{MN}{\sin \alpha} = \frac{AN}{\sin(\angle AMN)}$. Отсюда получаем $\sin(\angle AMN) = \frac{AN \cdot \sin \alpha}{MN}$.

Для $\triangle CMN$: $\frac{MN}{\sin(\angle MCN)} = \frac{CN}{\sin(\angle CMN)} \implies \frac{MN}{\sin \gamma} = \frac{CN}{\sin(\angle CMN)}$. Отсюда получаем $\sin(\angle CMN) = \frac{CN \cdot \sin \gamma}{MN}$.

Ранее мы установили, что $AN \cdot \sin \alpha = CN \cdot \sin \gamma$. Сравнивая выражения для $\sin(\angle AMN)$ и $\sin(\angle CMN)$, видим, что их правые части равны: $\frac{AN \cdot \sin \alpha}{MN} = \frac{CN \cdot \sin \gamma}{MN}$. Следовательно, $\sin(\angle AMN) = \sin(\angle CMN)$.

Из равенства синусов двух углов следует, что либо сами углы равны, либо их сумма равна $180^\circ$. То есть, либо $\angle AMN = \angle CMN$, либо $\angle AMN + \angle CMN = 180^\circ$.

Заметим, что сумма $\angle AMN + \angle CMN$ составляет угол $\angle AMC$. В треугольнике $\triangle AMC$ угол $\angle AMC = 180^\circ - (2\alpha + 2\gamma)$. Поскольку $\alpha$ и $\gamma$ — части углов невырожденного треугольника $ABC$, они положительны: $\alpha > 0$, $\gamma > 0$. Значит, $2\alpha + 2\gamma > 0$, и, следовательно, $\angle AMC < 180^\circ$. Поэтому равенство $\angle AMN + \angle CMN = 180^\circ$ невозможно.

Таким образом, остается единственный вариант: $\angle AMN = \angle CMN$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

644. Три прямые попарно пересекаются и не проходят через одну точку. Постройте точку, равноудалённую от всех трёх прямых. Сколько решений имеет задача?