Номер 638, страница 161 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 638, страница 161.

638. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник $ABC$, касается его боковых сторон $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно.

Докажите, что $MN \parallel AC$.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB$ и $BC$ равны. Окружность, вписанная в этот треугольник, касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно.

По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных равны. Для вершины $B$ это свойство означает, что длины отрезков $BM$ и $BN$ равны: $BM = BN$.

Рассмотрим треугольники $BMN$ и $BAC$. Мы докажем их подобие.

Во-первых, угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников.

Во-вторых, рассмотрим стороны, образующие этот угол. По условию, треугольник $ABC$ равнобедренный, то есть $AB = BC$. Как было показано выше, $BM = BN$. Таким образом, отношения сторон, прилежащих к общему углу $\angle B$, равны:

$\frac{BM}{AB} = \frac{BN}{BC}$

Поскольку два треугольника имеют общий угол и пропорциональные стороны, прилежащие к этому углу, треугольники $BMN$ и $BAC$ подобны по второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними).

Из подобия треугольников следует равенство их соответственных углов. В частности, угол $\angle BMN$ треугольника $BMN$ равен углу $\angle BAC$ треугольника $BAC$:

$\angle BMN = \angle BAC$

Углы $\angle BMN$ и $\angle BAC$ являются соответственными при прямых $MN$ и $AC$ и секущей $AB$. Так как эти соответственные углы равны, то по признаку параллельности прямых, прямая $MN$ параллельна прямой $AC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

638. Между двумя параллельными прямыми дана точка. Постройте окружность, проходящую через эту точку и касающуюся данных прямых. Сколько решений имеет задача?