Номер 641, страница 161 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 641, страница 161.

641. К окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, провели касательную, пересекающую две его стороны. Найдите периметр треугольника, который эта касательная отсекает от данного.

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$. Стороны треугольника $AB$, $BC$ и $CA$ являются касательными к вписанной в него окружности.

Проведем новую касательную к этой окружности, которая, согласно условию, пересекает две стороны исходного треугольника. Без ограничения общности, предположим, что эта касательная пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Эта касательная отсекает от $\triangle ABC$ малый треугольник $\triangle APQ$. Нам необходимо найти периметр этого треугольника $P_{APQ}$.

Рассмотрим четырехугольник $PBCQ$. Его стороны — это отрезки $PB$, $BC$, $CQ$ и $QP$. Все четыре стороны этого четырехугольника касаются одной и той же окружности (вписанной в $\triangle ABC$). Такой четырехугольник называется описанным или тангенциальным.

Для любого описанного четырехугольника справедлива теорема Пито, которая гласит, что суммы длин его противоположных сторон равны. В нашем случае это означает:

$PB + CQ = BC + PQ$

Теперь выразим длины отрезков $PB$ и $CQ$ через сторону $a$ и стороны малого треугольника $APQ$.

Точка $P$ лежит на стороне $AB$, поэтому длина отрезка $PB$ равна разности длин $AB$ и $AP$:

$PB = AB - AP = a - AP$

Точка $Q$ лежит на стороне $AC$, поэтому длина отрезка $CQ$ равна разности длин $AC$ и $AQ$:

$CQ = AC - AQ = a - AQ$

Подставим эти выражения в равенство из теоремы Пито:

$(a - AP) + (a - AQ) = a + PQ$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$2a - AP - AQ = a + PQ$

Перенесем слагаемые $AP$ и $AQ$ в правую часть уравнения, а $a$ в левую:

$2a - a = AP + AQ + PQ$

$a = AP + AQ + PQ$

Выражение в правой части является периметром треугольника $APQ$ ($P_{APQ}$). Таким образом, мы получили:

$P_{APQ} = a$

Периметр треугольника, который касательная отсекает от данного, равен длине стороны исходного равностороннего треугольника.

Ответ: $a$.

641. Постройте треугольник по двум сторонам и радиусу описанной окружности. Сколько решений может иметь задача?