Номер 636, страница 161 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 636, страница 161.

636. Периметр треугольника $ABC$, описанного около окружности, равен 52 см. Точка касания со стороной $AB$ делит эту сторону в отношении 2:3, считая от вершины $A$. Точка касания со стороной $BC$ удалена от вершины $C$ на 6 см. Найдите стороны треугольника.

Пусть в треугольнике $ABC$ вписана окружность, которая касается сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $K$, $L$ и $M$ соответственно.

Основное свойство, которое мы будем использовать: отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.
Значит, $AK = AM$, $BK = BL$ и $CL = CM$.

Из условия известно, что точка касания со стороной $BC$ удалена от вершины $C$ на 6 см. Пусть это точка $L$. Таким образом, $CL = 6$ см.
По свойству касательных, $CM$ также равно 6 см.
$CL = CM = 6$ см.

Также по условию, точка касания $K$ на стороне $AB$ делит ее в отношении $2:3$, считая от вершины $A$. Это означает, что $AK : KB = 2 : 3$.
Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда $AK = 2x$ см, а $KB = 3x$ см.

Используя свойство касательных для вершин $A$ и $B$, получаем:
$AM = AK = 2x$ см.
$BL = BK = 3x$ см.

Теперь мы можем выразить длины всех сторон треугольника через $x$:
$AB = AK + KB = 2x + 3x = 5x$ см.
$BC = BL + LC = 3x + 6$ см.
$AC = AM + MC = 2x + 6$ см.

Периметр треугольника $P_{ABC}$ равен сумме длин его сторон. По условию, $P_{ABC} = 52$ см. Составим уравнение:
$AB + BC + AC = 52$
$5x + (3x + 6) + (2x + 6) = 52$
$10x + 12 = 52$
$10x = 52 - 12$
$10x = 40$
$x = 4$

Найдя значение $x$, мы можем вычислить длины сторон треугольника:
$AB = 5x = 5 \cdot 4 = 20$ см.
$BC = 3x + 6 = 3 \cdot 4 + 6 = 12 + 6 = 18$ см.
$AC = 2x + 6 = 2 \cdot 4 + 6 = 8 + 6 = 14$ см.

Ответ: стороны треугольника равны 20 см, 18 см и 14 см.

636. На данной окружности постройте точку, находящуюся на данном расстоянии от данной прямой. Сколько решений может иметь задача?