Номер 631, страница 160 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 631, страница 160.

631. Докажите, что если центр окружности, вписанной в треугольник, принадлежит его медиане, то этот треугольник равнобедренный.

Пусть дан треугольник $ABC$. Проведём в нём медиану $BM$ к стороне $AC$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $AC$, а это значит, что $AM = MC$.

Пусть $I$ — это центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности. Согласно условию задачи, точка $I$ лежит на медиане $BM$.

Центр вписанной окружности треугольника (инцентр) является точкой пересечения его биссектрис. Таким образом, отрезки $AI$ и $CI$ являются биссектрисами углов $\angle A$ и $\angle C$ треугольника $ABC$ соответственно.

Рассмотрим треугольник $ABM$. Отрезок $AI$ является биссектрисой угла $\angle BAM$ (который совпадает с углом $\angle BAC$). Эта биссектриса пересекает противолежащую ей сторону $BM$ в точке $I$. По свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Для треугольника $ABM$ это свойство записывается в виде следующего соотношения: $$ \frac{AB}{AM} = \frac{BI}{IM} $$

Аналогично рассмотрим треугольник $CBM$. В этом треугольнике отрезок $CI$ является биссектрисой угла $\angle BCM$ (который совпадает с углом $\angle BCA$). Биссектриса $CI$ также пересекает сторону $BM$ в точке $I$. Применим свойство биссектрисы к треугольнику $CBM$: $$ \frac{BC}{CM} = \frac{BI}{IM} $$

Мы получили два выражения для одного и того же отношения $\frac{BI}{IM}$. Приравнивая их, получаем: $$ \frac{AB}{AM} = \frac{BC}{CM} $$

Как мы установили вначале, $BM$ является медианой, и поэтому $AM = CM$. Заменим в полученном равенстве $CM$ на $AM$: $$ \frac{AB}{AM} = \frac{BC}{AM} $$

Так как длина отрезка $AM$ не равна нулю, мы можем умножить обе части равенства на $AM$, что даёт нам: $$ AB = BC $$

Мы доказали, что две стороны треугольника $ABC$ равны. Следовательно, по определению, треугольник $ABC$ является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

631. Даны две пересекающиеся прямые $m$ и $n$ и отрезок $AB$. Постройте на прямой $m$ точку, удалённую от прямой $n$ на расстояние $AB$. Сколько решений имеет задача?