Номер 625, страница 160 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 625, страница 160.

625. Докажите, что радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, в 2 раза больше радиуса окружности, вписанной в этот треугольник.

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$.

Доказательство:

В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Обозначим эту точку как $O$. Эта точка является центром треугольника.

В равностороннем треугольнике высоты, медианы и биссектрисы, проведенные из одной и той же вершины, совпадают. Проведем из вершины $B$ медиану $BH$ к стороне $AC$. Так как $BH$ является также высотой и биссектрисой, то $BH \perp AC$.

Центр $O$ лежит на отрезке $BH$.

Радиус описанной окружности ($R$) — это расстояние от центра окружности до любой из вершин треугольника. Следовательно, $R = OB$.

Радиус вписанной окружности ($r$) — это расстояние от центра окружности до любой из сторон треугольника. Так как $BH$ — высота, то расстояние от $O$ до стороны $AC$ равно длине отрезка $OH$. Следовательно, $r = OH$.

Точка $O$ является точкой пересечения медиан треугольника (центроидом). По свойству медиан, они точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Для медианы $BH$ это означает:

$BO : OH = 2 : 1$

Из этого соотношения напрямую следует, что $BO = 2 \cdot OH$.

Заменив отрезки $BO$ и $OH$ на соответствующие им радиусы $R$ и $r$, получаем равенство:

$R = 2r$

Таким образом, мы доказали, что радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, в 2 раза больше радиуса окружности, вписанной в этот треугольник.

Ответ: Что и требовалось доказать.

625. Точки $B$ и $C$ принадлежат разным сторонам угла $A$. Постройте точку $D$, принадлежащую углу, равноудалённую от его сторон и такую, что $DC = BC$. Сколько решений может иметь задача?