Номер 618, страница 159 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 618, страница 159.

618. Докажите, что центр описанной окружности равнобедренного треугольника принадлежит прямой, которая содержит медиану, проведённую к его основанию.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По определению, боковые стороны равны: $AB = BC$. Проведём медиану $BM$ к основанию $AC$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $AC$, то есть $AM = MC$.

Центр описанной окружности, обозначим его точкой $O$, — это точка, равноудалённая от всех вершин треугольника. Следовательно, расстояния от точки $O$ до вершин $A$, $B$ и $C$ равны: $OA = OB = OC$.

Рассмотрим равенство $OA = OC$. Оно означает, что точка $O$ равноудалена от вершин $A$ и $C$. Геометрическим местом точек, равноудалённых от концов отрезка, является его серединный перпендикуляр. Таким образом, точка $O$ должна лежать на серединном перпендикуляре к стороне $AC$.

Теперь рассмотрим медиану $BM$. Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведённая к его основанию, является также высотой и биссектрисой. То, что $BM$ является высотой, означает, что она перпендикулярна основанию: $BM \perp AC$.

Поскольку прямая, содержащая медиану $BM$, проходит через середину $M$ стороны $AC$ и перпендикулярна этой стороне, она по определению является серединным перпендикуляром к отрезку $AC$.

Мы установили, что центр описанной окружности $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AC$. Мы также показали, что прямая, содержащая медиану $BM$, и есть этот серединный перпендикуляр. Следовательно, центр описанной окружности $O$ принадлежит прямой, которая содержит медиану $BM$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

618. Определите углы треугольника $ABC$, если:

1) $\angle A + \angle B = 110^\circ$, а $\angle A + \angle C = 85^\circ$;

2) $\angle C - \angle A = 29^\circ$, а $\angle A + \angle C = 121^\circ$.