Номер 611, страница 158 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 611, страница 158.

611. Перерисуйте в тетрадь рисунок 347. Проведите через точки A, B, C окружность, пользуясь линейкой со шкалой, угольником и циркулем.

Рис. 347

Для того чтобы построить окружность, проходящую через три заданные точки A, B и C, которые не лежат на одной прямой, необходимо найти ее центр и радиус. Центром такой окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам, соединяющим эти точки (например, к отрезкам AB и BC). Это следует из свойства серединного перпендикуляра: любая его точка равноудалена от концов отрезка.

Алгоритм построения следующий:

1. Соединение точек

С помощью линейки соединяем точки A и B, получая отрезок AB. Затем соединяем точки B и C, получая отрезок BC.

2. Построение серединного перпендикуляра к отрезку AB

Серединный перпендикуляр — это прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему. Построить его можно одним из двух способов, используя данные инструменты:

• С помощью циркуля и линейки: Устанавливаем раствор циркуля на расстояние, заведомо большее половины длины отрезка AB. Проводим две дуги из точек A и B как из центров. Затем через две точки пересечения этих дуг проводим прямую с помощью линейки. Эта прямая и будет искомым серединным перпендикуляром.
• С помощью линейки со шкалой и угольника: С помощью линейки измеряем длину отрезка AB и отмечаем его середину. Затем прикладываем одну сторону угольника к отрезку AB, а по другой его стороне, которая образует прямой угол и проходит через отмеченную середину, проводим прямую.

3. Построение серединного перпендикуляра к отрезку BC

Аналогично пункту 2 строим серединный перпендикуляр к отрезку BC, используя либо циркуль с линейкой, либо линейку со шкалой и угольник.

4. Нахождение центра окружности

Точка пересечения двух построенных серединных перпендикуляров является центром искомой окружности. Обозначим эту точку O. Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к AB, расстояние от нее до точек A и B одинаково: $OA = OB$. Так как O также лежит на серединном перпендикуляре к BC, то $OB = OC$. Следовательно, точка O равноудалена от всех трех точек: $OA = OB = OC$.

5. Построение окружности

Радиус окружности равен расстоянию от центра O до любой из трех точек (A, B или C).

• Устанавливаем острие циркуля в найденный центр O.
• Подбираем раствор циркуля так, чтобы грифель оказался в точке A (или B, или C). Это и будет радиус $R = OA$.
• Проводим окружность. По построению она пройдет через все три точки.

Ответ:

Чтобы провести окружность через точки A, B и C, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Соединить точки отрезками AB и BC.
2. Построить серединный перпендикуляр к отрезку AB.
3. Построить серединный перпендикуляр к отрезку BC.
4. Найти точку пересечения этих двух перпендикуляров – это будет центр окружности O.
5. Поставить ножку циркуля в точку O, задать радиус, равный расстоянию OA (или OB, или OC), и начертить окружность.

611. Постройте прямоугольный треугольник по катету и радиусу вписанной окружности.