Номер 5, страница 157 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 5, страница 157.

5. Какую окружность называют вписанной в треугольник?

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон. В этом случае сам треугольник называют описанным около окружности.

Для лучшего понимания рассмотрим ключевые свойства и характеристики такой окружности:

• Центр вписанной окружности. Центр вписанной в треугольник окружности — это точка пересечения его биссектрис. Эта точка также называется инцентром треугольника. Она уникальна тем, что равноудалена от всех трех сторон треугольника.
• Радиус вписанной окружности. Радиус вписанной окружности (обозначается как $r$) — это перпендикуляр, проведенный из ее центра (инцентра) к любой из сторон треугольника. Длина этого перпендикуляра одинакова для всех трех сторон.
• Существование и единственность. В любой треугольник можно вписать окружность, и для каждого треугольника такая окружность единственна.

Существует формула, связывающая радиус вписанной окружности $r$ с площадью $S$ и полупериметром $p$ треугольника: $S = p \cdot r$ где полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2}$, а $a, b, c$ — длины сторон треугольника. Из этой формулы можно выразить радиус: $r = \frac{S}{p}$.

Ответ: Вписанной в треугольник называют окружность, которая касается всех трех его сторон.

5. Какую окружность называют вписанной в треугольник?