Страница 157 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какую окружность называют описанной около треугольника?

1.

Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все три вершины этого треугольника. В таком случае сам треугольник называют вписанным в эту окружность.

Основные характеристики описанной окружности:
- Центр окружности — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Эта точка равноудалена от каждой из трех вершин треугольника.
- Радиус окружности (R) — это расстояние от центра до любой из вершин треугольника.
- Существование и единственность: Около любого треугольника можно описать окружность, и такая окружность всегда единственна.

Расположение центра описанной окружности зависит от вида треугольника:
- У остроугольного треугольника центр лежит внутри треугольника.
- У прямоугольного треугольника центр лежит на середине гипотенузы (самой длинной стороны).
- У тупоугольного треугольника центр лежит вне треугольника.

Ответ: Описанной около треугольника называют окружность, которая проходит через все три его вершины.

1. Какую окружность называют описанной около треугольника?

2. Какой треугольник называют вписанным в окружность?

2. Треугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности. В этом случае сама окружность называется описанной около треугольника.

Это означает, что существует точка $O$, называемая центром описанной окружности, которая равноудалена от всех трех вершин треугольника. Если вершины треугольника обозначить как $A$, $B$ и $C$, то расстояния от центра $O$ до каждой из вершин равны радиусу $R$ этой окружности: $OA = OB = OC = R$.

Основные свойства, связанные с таким треугольником и окружностью:
• Около любого треугольника можно описать окружность, и она всегда единственна.
• Центр описанной окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
• Положение центра описанной окружности зависит от вида треугольника:
– у остроугольного треугольника центр лежит внутри треугольника;
– у прямоугольного треугольника центр лежит на середине гипотенузы;
– у тупоугольного треугольника центр лежит вне треугольника.

Ответ: Треугольник, все вершины которого лежат на окружности.

2. Какой треугольник называют вписанным в окружность?

3. Около какого треугольника можно описать окружность?

Окружность можно описать около любого треугольника.

Это является фундаментальной теоремой планиметрии. Описанная окружность — это окружность, которая проходит через все три вершины треугольника. Для доказательства существования такой окружности для любого треугольника необходимо показать, что всегда существует точка, равноудаленная от всех трех его вершин. Эта точка будет являться центром описанной окружности.

Рассмотрим доказательство на примере произвольного треугольника $ABC$.

1. Построим серединный перпендикуляр к стороне $AB$. Каждая точка этого перпендикуляра по определению равноудалена от вершин $A$ и $B$.

2. Аналогично построим серединный перпендикуляр к стороне $BC$. Каждая его точка равноудалена от вершин $B$ и $C$.

3. Эти два серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке, назовем ее $O$. Они не могут быть параллельными, так как стороны $AB$ и $BC$, к которым они перпендикулярны, не лежат на одной прямой.

4. Поскольку точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AB$, то расстояние от нее до вершин $A$ и $B$ одинаково: $OA = OB$.

5. Поскольку точка $O$ также лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$, то расстояние от нее до вершин $B$ и $C$ тоже одинаково: $OB = OC$.

6. Из полученных равенств следует, что $OA = OB = OC$.

Таким образом, точка $O$ равноудалена от всех трех вершин треугольника. Следовательно, можно провести окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA$, которая пройдет через все три вершины $A$, $B$ и $C$.

Этот вывод справедлив для любого треугольника, независимо от его вида (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный).

Ответ: Окружность можно описать около любого треугольника.

3. Около какого треугольника можно описать окружность?

4. Какая точка является центром окружности, описанной около треугольника?

Центр описанной около треугольника окружности

Окружность, описанная около треугольника, — это окружность, которая проходит через все три его вершины. Центр этой окружности является точкой, равноудаленной от всех трех вершин треугольника.

Чтобы найти эту точку, используется свойство серединного перпендикуляра. Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, которая проходит через середину этого отрезка и перпендикулярна ему. Любая точка на серединном перпендикуляре к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть точка $O$ — центр его описанной окружности. По определению, расстояния от точки $O$ до вершин равны: $OA = OB = OC$.

• Так как $OA = OB$, точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AB$.
• Так как $OB = OC$, точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$.
• Так как $OC = OA$, точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AC$.

Таким образом, центр описанной окружности является точкой, которая принадлежит всем трем серединным перпендикулярам к сторонам треугольника. Согласно фундаментальной теореме геометрии, три серединных перпендикуляра к сторонам любого треугольника всегда пересекаются в одной точке. Эта точка и является искомым центром.

Расположение этой точки зависит от вида треугольника:

• В остроугольном треугольнике центр описанной окружности лежит внутри треугольника.
• В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.
• В тупоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит вне треугольника.

Ответ: Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

4. Какая точка является центром окружности, описанной около треугольника?

5. Какую окружность называют вписанной в треугольник?

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон. В этом случае сам треугольник называют описанным около окружности.

Для лучшего понимания рассмотрим ключевые свойства и характеристики такой окружности:

• Центр вписанной окружности. Центр вписанной в треугольник окружности — это точка пересечения его биссектрис. Эта точка также называется инцентром треугольника. Она уникальна тем, что равноудалена от всех трех сторон треугольника.
• Радиус вписанной окружности. Радиус вписанной окружности (обозначается как $r$) — это перпендикуляр, проведенный из ее центра (инцентра) к любой из сторон треугольника. Длина этого перпендикуляра одинакова для всех трех сторон.
• Существование и единственность. В любой треугольник можно вписать окружность, и для каждого треугольника такая окружность единственна.

Существует формула, связывающая радиус вписанной окружности $r$ с площадью $S$ и полупериметром $p$ треугольника: $S = p \cdot r$ где полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2}$, а $a, b, c$ — длины сторон треугольника. Из этой формулы можно выразить радиус: $r = \frac{S}{p}$.

Ответ: Вписанной в треугольник называют окружность, которая касается всех трех его сторон.

5. Какую окружность называют вписанной в треугольник?

6. Какой треугольник называют описанным около окружности?

Треугольник называют описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. Другими словами, окружность является вписанной в треугольник.

Это означает, что каждая из трех сторон треугольника имеет с окружностью ровно одну общую точку, которая называется точкой касания. Центр такой окружности (инцентр) является точкой пересечения биссектрис углов треугольника и равноудален от всех его сторон. Это расстояние от центра до любой из сторон равно радиусу вписанной окружности ($r$). В любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Ответ: Треугольник, все стороны которого касаются окружности.

6. Какой треугольник называют описанным около окружности?

7. В какой треугольник можно вписать окружность?

Окружность можно вписать в любой треугольник. Это является фундаментальным свойством треугольника как геометрической фигуры.

Обоснование:

Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех трех сторон треугольника. Центр такой окружности называется инцентром.

Теорема о вписанной окружности гласит, что в любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Её центр — это точка пересечения биссектрис углов треугольника.

Поскольку биссектрисы трех углов любого треугольника (будь он остроугольный, прямоугольный или тупоугольный) всегда пересекаются в одной точке, и эта точка всегда находится внутри треугольника, то и вписать окружность можно в абсолютно любой треугольник. Эта точка пересечения биссектрис равноудалена от всех сторон треугольника, и это расстояние является радиусом $r$ вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности можно вычислить по формуле: $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — это площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр ($p = \frac{a+b+c}{2}$, где $a, b, c$ — длины сторон).

Ответ: Окружность можно вписать в любой треугольник.

7. В какой треугольник можно вписать окружность?

8. Какая точка является центром окружности, вписанной в треугольник?

Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения его биссектрис. Эта точка также называется инцентром.

Обоснование:

По определению, вписанная окружность — это окружность, которая касается всех сторон треугольника. Следовательно, её центр должен быть равноудален от всех трех сторон треугольника.

Рассмотрим свойство биссектрисы угла: любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы углов $A$ и $B$, которые пересекаются в точке $I$.

1. Так как точка $I$ лежит на биссектрисе угла $A$, она равноудалена от сторон $AB$ и $AC$.
2. Так как точка $I$ лежит на биссектрисе угла $B$, она равноудалена от сторон $BA$ и $BC$.

Из этих двух утверждений следует, что точка $I$ равноудалена от всех трех сторон треугольника: $AB$, $AC$ и $BC$. Расстояние от точки $I$ до каждой из сторон будет радиусом $r$ вписанной окружности. Также из этого следует, что третья биссектриса, проведенная из угла $C$, тоже пройдет через точку $I$.

Таким образом, точка пересечения биссектрис является единственной точкой, равноудаленной от всех сторон треугольника, и, следовательно, является центром вписанной окружности.

Ответ: Точка пересечения биссектрис углов треугольника.

8. Какая точка является центром окружности, вписанной в треугольник?

609. Начертите разносторонний остроугольный треугольник.

1) Пользуясь линейкой со шкалой и угольником, найдите центр окружности, описанной около данного треугольника.

2) Опишите около треугольника окружность.

Выполните задания 1 и 2 для разносторонних прямоугольного и тупоугольного треугольников.

Для нахождения центра окружности, описанной около любого треугольника, необходимо построить серединные перпендикуляры к его сторонам. Точка их пересечения является центром описанной окружности. Радиус этой окружности равен расстоянию от найденного центра до любой из вершин треугольника.

Разносторонний остроугольный треугольник

Сначала начертим разносторонний остроугольный треугольник $ABC$ (все углы меньше $90°$, все стороны разной длины).

1) Нахождение центра описанной окружности:

Для того чтобы найти центр описанной окружности, выполним следующие действия:

1. С помощью линейки со шкалой измерим длину стороны $AB$ и найдем ее середину. Обозначим эту точку $M_1$.
2. С помощью угольника приложим одну его сторону к стороне $AB$ треугольника, а по другой стороне проведем прямую, проходящую через точку $M_1$. Эта прямая будет серединным перпендикуляром к стороне $AB$.
3. Повторим те же действия для стороны $BC$. Найдем ее середину, точку $M_2$, и проведем через нее прямую, перпендикулярную $BC$.
4. Точка пересечения двух построенных серединных перпендикуляров является центром описанной окружности. Обозначим эту точку $O$. Для остроугольного треугольника эта точка всегда лежит внутри треугольника.

2) Описание окружности около треугольника:

Для описания окружности (построения) понадобится циркуль. Установим иглу циркуля в найденную точку $O$. Раствор циркуля установим равным расстоянию от точки $O$ до любой из вершин треугольника, например $OA$. Проведем окружность. Она пройдет через все три вершины треугольника: $A$, $B$ и $C$.

Ответ: Центр описанной окружности остроугольного треугольника находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и расположен внутри треугольника.

Разносторонний прямоугольный треугольник

Начертим разносторонний прямоугольный треугольник $DEF$, где, например, угол $E$ равен $90°$. Сторона $DF$ является гипотенузой.

1) Нахождение центра описанной окружности:

Повторим алгоритм построения серединных перпендикуляров. Можно построить серединный перпендикуляр к катету $DE$ и к катету $EF$. Точка их пересечения $O$ и будет центром описанной окружности. В случае прямоугольного треугольника существует свойство: центр описанной окружности лежит на середине его гипотенузы. Таким образом, можно просто найти середину гипотенузы $DF$ с помощью линейки — это и будет точка $O$.

2) Описание окружности около треугольника:

Установим иглу циркуля в точку $O$ (середину гипотенузы $DF$). Радиус окружности будет равен половине длины гипотенузы ($OD$ или $OF$). Проведем окружность. Она пройдет через вершины $D$, $E$ и $F$.

Ответ: Центр описанной окружности прямоугольного треугольника находится на середине его гипотенузы.

Разносторонний тупоугольный треугольник

Начертим разносторонний тупоугольный треугольник $GHI$, где один из углов, например угол $H$, больше $90°$.

1) Нахождение центра описанной окружности:

Используем тот же метод. Построим серединные перпендикуляры к двум любым сторонам, например, $GH$ и $HI$. Для этого находим их середины с помощью линейки и проводим через них перпендикулярные прямые с помощью угольника. Точка пересечения этих перпендикуляров $O$ будет центром описанной окружности. Для тупоугольного треугольника эта точка всегда лежит вне треугольника.

2) Описание окружности около треугольника:

Установим иглу циркуля в найденную точку $O$ (которая находится вне треугольника). Измерим циркулем расстояние от точки $O$ до любой из вершин, например $OG$. Это будет радиус. Проведем окружность, которая пройдет через все три вершины $G$, $H$ и $I$.

Ответ: Центр описанной окружности тупоугольного треугольника находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и расположен вне треугольника.

609. Постройте треугольник по углу и высотам, проведённым из вершин двух других углов.

610. Начертите:

1) равнобедренный остроугольный треугольник;

2) равнобедренный тупоугольный треугольник.

Выполните задания 1 и 2 из задания 609.

В задаче требуется начертить два вида равнобедренных треугольников и выполнить для них задания 1 и 2 из № 609. Предположим, что в задании № 609 требовалось построить описанную окружность и определить положение её центра относительно треугольника.

Равнобедренный остроугольный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны, и все три угла острые, то есть меньше $90^\circ$.
Построение треугольника:
1. Начертим отрезок $AC$, который будет служить основанием треугольника.
2. Из середины отрезка $AC$, точки $H$, проведём к нему перпендикуляр.
3. На этом перпендикуляре выберем точку $B$ так, чтобы высота $BH$ была больше половины основания ($BH > AH$).
4. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ будет равнобедренным ($AB=BC$) и остроугольным.

Построение описанной окружности и определение положения её центра:
Центр описанной окружности треугольника (описанный центр) — это точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
1. Один серединный перпендикуляр у нас уже построен — это прямая, содержащая высоту $BH$.
2. Построим серединный перпендикуляр к одной из боковых сторон, например, к стороне $AB$.
3. Точка $O$, в которой пересекутся эти два перпендикуляра, является центром описанной окружности.
4. Для остроугольного треугольника точка пересечения серединных перпендикуляров всегда находится внутри треугольника.

Ответ: Центр описанной окружности равнобедренного остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.

Равнобедренный тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны, а один из углов тупой (больше $90^\circ$). В равнобедренном треугольнике тупым может быть только угол при вершине, противолежащей основанию, так как углы при основании равны и не могут быть тупыми (их сумма превысила бы $180^\circ$).
Построение треугольника:
1. Начертим отрезок $AC$ — основание треугольника.
2. Из середины отрезка $AC$, точки $H$, проведём к нему перпендикуляр.
3. На этом перпендикуляре выберем точку $B$ так, чтобы высота $BH$ была меньше половины основания ($BH < AH$).
4. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ будет равнобедренным ($AB=BC$) и тупоугольным (угол $\angle ABC > 90^\circ$).

Построение описанной окружности и определение положения её центра:
Центр описанной окружности находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
1. Построим серединный перпендикуляр к основанию $AC$ (прямая, содержащая высоту $BH$).
2. Построим серединный перпендикуляр к боковой стороне $AB$.
3. Точка их пересечения $O$ и будет центром описанной окружности.
4. Для тупоугольного треугольника точка пересечения серединных перпендикуляров всегда находится снаружи треугольника. В нашем случае, точка $O$ будет лежать на продолжении высоты $BH$ за основанием $AC$.

Ответ: Центр описанной окружности равнобедренного тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.

610. Постройте треугольник по двум высотам и углу, из вершины которого проведена одна из данных высот. Сколько решений может иметь задача?