Страница 160 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

623. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$ (рис. 351), касается его сторон в точках $M, K$ и $E$, $AM = 13$ см, $BC = 8$ см, $BK = 3$ см. Найдите сторону $AC$.

Для решения задачи воспользуемся свойством касательных к окружности, проведенных из одной точки. Согласно этому свойству, отрезки касательных, проведенных из одной вершины треугольника к точкам касания с вписанной окружностью, равны между собой.

Пусть точки касания $M, K, E$ расположены на сторонах треугольника $ABC$. Из условия задачи даны отрезки $AM$, $BC$ и $BK$. Отрезок $AM$ выходит из вершины $A$, а отрезок $BK$ — из вершины $B$. Это означает, что $M$ — точка касания на одной из сторон, выходящих из $A$ ($AB$ или $AC$), а $K$ — на одной из сторон, выходящих из $B$ ($AB$ или $BC$). Третья точка касания — $E$.

Для определенности предположим, что точка $M$ находится на стороне $AB$, точка $K$ — на стороне $BC$, а точка $E$ — на стороне $AC$. (Стоит отметить, что другой вариант расположения точек касания, соответствующий условию, приведет к такому же результату).

Исходя из свойства касательных, мы можем записать следующие равенства:
1. Отрезки касательных из вершины $A$: $AE = AM$.
2. Отрезки касательных из вершины $B$: $BM = BK$.
3. Отрезки касательных из вершины $C$: $CE = CK$.

Нам нужно найти длину стороны $AC$, которая равна сумме длин отрезков $AE$ и $CE$: $AC = AE + CE$.

Используем данные из условия: $AM = 13$ см, $BC = 8$ см, $BK = 3$ см.

1. Найдем длину отрезка $AE$.
Так как $AE = AM$, а $AM = 13$ см, то $AE = 13$ см.

2. Найдем длину отрезка $CE$.
Мы знаем, что $CE = CK$. Чтобы найти $CK$, рассмотрим сторону $BC$.
Сторона $BC$ состоит из двух отрезков: $BK$ и $CK$.
$BC = BK + CK$
Подставим известные значения:
$8 = 3 + CK$
Отсюда находим $CK$:
$CK = 8 - 3 = 5$ см.
Следовательно, $CE = CK = 5$ см.

3. Теперь вычислим длину стороны $AC$.
$AC = AE + CE = 13 + 5 = 18$ см.

Ответ: 18 см.

623. Точки $A$ и $B$ принадлежат прямой $m$. Постройте точку, удалённую от прямой $m$ на расстояние $a$ и равноудалённую от точек $A$ и $B$. Сколько решений имеет задача?

624. Докажите, что центр описанной окружности равностороннего треугольника является точкой пересечения его биссектрис.

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$. По определению, в равностороннем треугольнике все стороны равны ($AB = BC = CA$) и все углы равны ($ \angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ $).

Центр описанной окружности треугольника — это точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Нам нужно доказать, что эта точка совпадает с точкой пересечения биссектрис треугольника $ABC$.

Проведем из вершины $A$ биссектрису $AM$ к стороне $BC$. Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle ACM$.

В этих треугольниках:

1. Сторона $AB = AC$ (так как $\triangle ABC$ — равносторонний).

2. Углы $\angle BAM = \angle CAM$ (так как $AM$ — биссектриса угла $A$).

3. Сторона $AM$ — общая.

Следовательно, $\triangle ABM \cong \triangle ACM$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. Значит, $BM = CM$, что означает, что биссектриса $AM$ является также и медианой. Кроме того, $\angle AMB = \angle AMC$. Поскольку эти углы смежные, их сумма равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle AMB = \angle AMC = 180^\circ / 2 = 90^\circ$. Это означает, что $AM$ является также и высотой.

Поскольку отрезок $AM$ перпендикулярен стороне $BC$ и делит ее пополам в точке $M$, то $AM$ является серединным перпендикуляром к стороне $BC$.

Аналогичные рассуждения можно провести для биссектрис, проведенных из вершин $B$ и $C$. Каждая из них будет являться одновременно медианой, высотой и серединным перпендикуляром к соответствующей стороне.

Таким образом, в равностороннем треугольнике биссектрисы совпадают с серединными перпендикулярами. Точка пересечения серединных перпендикуляров (центр описанной окружности) и точка пересечения биссектрис — это одна и та же точка.

Следовательно, центр описанной окружности равностороннего треугольника является точкой пересечения его биссектрис.

Ответ: Что и требовалось доказать.

624. Точки $B$ и $C$ принадлежат разным сторонам угла $A$, причём $AB \neq AC$. Постройте точку $M$, принадлежащую углу, равноудалённую от его сторон и такую, что $MB = MC$.

625. Докажите, что радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, в 2 раза больше радиуса окружности, вписанной в этот треугольник.

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$.

Доказательство:

В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Обозначим эту точку как $O$. Эта точка является центром треугольника.

В равностороннем треугольнике высоты, медианы и биссектрисы, проведенные из одной и той же вершины, совпадают. Проведем из вершины $B$ медиану $BH$ к стороне $AC$. Так как $BH$ является также высотой и биссектрисой, то $BH \perp AC$.

Центр $O$ лежит на отрезке $BH$.

Радиус описанной окружности ($R$) — это расстояние от центра окружности до любой из вершин треугольника. Следовательно, $R = OB$.

Радиус вписанной окружности ($r$) — это расстояние от центра окружности до любой из сторон треугольника. Так как $BH$ — высота, то расстояние от $O$ до стороны $AC$ равно длине отрезка $OH$. Следовательно, $r = OH$.

Точка $O$ является точкой пересечения медиан треугольника (центроидом). По свойству медиан, они точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Для медианы $BH$ это означает:

$BO : OH = 2 : 1$

Из этого соотношения напрямую следует, что $BO = 2 \cdot OH$.

Заменив отрезки $BO$ и $OH$ на соответствующие им радиусы $R$ и $r$, получаем равенство:

$R = 2r$

Таким образом, мы доказали, что радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, в 2 раза больше радиуса окружности, вписанной в этот треугольник.

Ответ: Что и требовалось доказать.

625. Точки $B$ и $C$ принадлежат разным сторонам угла $A$. Постройте точку $D$, принадлежащую углу, равноудалённую от его сторон и такую, что $DC = BC$. Сколько решений может иметь задача?

626. Через центр $O$ окружности, описанной около треугольника $ABC$, провели прямую, перпендикулярную стороне $AC$ и пересекающую сторону $AB$ в точке $M$. Докажите, что $AM = MC$.

Рассмотрим треугольник $AOC$, где $O$ — центр описанной окружности, а $A$ и $C$ — вершины исходного треугольника $ABC$.

По определению описанной окружности, её центр равноудален от всех вершин треугольника. Следовательно, отрезки $OA$ и $OC$ равны как радиусы одной и той же окружности: $OA = OC$.

Это означает, что треугольник $AOC$ является равнобедренным с основанием $AC$.

По условию задачи, через центр $O$ проведена прямая, перпендикулярная стороне $AC$. Обозначим эту прямую как $l$. Пусть $K$ — точка пересечения прямой $l$ и стороны $AC$. Тогда $OK$ является высотой в равнобедренном треугольнике $AOC$, проведенной к основанию $AC$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Это значит, что точка $K$ — середина отрезка $AC$.

Таким образом, прямая $l$ проходит через середину отрезка $AC$ и перпендикулярна ему. По определению, прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AC$.

Точка $M$, по условию, принадлежит прямой $l$ (так как $l$ пересекает $AB$ в точке $M$).

Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка. Поскольку точка $M$ лежит на серединном перпендикуляре к $AC$, то она равноудалена от точек $A$ и $C$.

Следовательно, $AM = MC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AM = MC$ доказано.

626. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и боковой стороне.

627. Через центр $O$ окружности, вписанной в треугольник $ABC$, провели прямую $AO$, пересекающую сторону $BC$ в точке $M$. Докажите, что точка $M$ равноудалена от лучей $AB$ и $AC$.

По определению, центр окружности, вписанной в треугольник (инцентр), является точкой пересечения биссектрис его внутренних углов. По условию, точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

Следовательно, точка $O$ принадлежит всем трём биссектрисам треугольника $ABC$. В частности, $O$ лежит на биссектрисе угла $BAC$.

Прямая $AO$, проходящая через вершину угла $A$ и точку $O$, лежащую на биссектрисе этого угла, совпадает с этой биссектрисой. Таким образом, прямая $AO$ является биссектрисой угла $BAC$.

Из условия задачи известно, что точка $M$ — это точка пересечения прямой $AO$ и стороны $BC$. Это означает, что точка $M$ лежит на прямой $AO$, а значит, и на биссектрисе угла $BAC$.

Согласно свойству биссектрисы угла, любая точка, лежащая на биссектрисе, равноудалена от сторон этого угла.

Поскольку точка $M$ лежит на биссектрисе угла $BAC$, она равноудалена от его сторон, то есть от лучей $AB$ и $AC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Точка $M$ лежит на прямой $AO$, которая является биссектрисой угла $BAC$, поэтому она равноудалена от сторон этого угла — лучей $AB$ и $AC$.

627. Для данной окружности постройте точку, являющуюся её центром.

628. Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, принадлежит его медиане, то этот треугольник равнобедренный.

Пусть дан треугольник $ABC$. Проведем в нем медиану $BM$ к стороне $AC$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $AC$, то есть $AM = MC$.

Пусть $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. По условию задачи, точка $O$ лежит на медиане $BM$.

Центр описанной окружности $O$ равноудален от всех вершин треугольника. Следовательно, отрезки $OA$ и $OC$ равны как радиусы этой окружности: $OA = OC$. Рассмотрим треугольник $AOC$. Так как $OA = OC$, то треугольник $AOC$ является равнобедренным с основанием $AC$.

Отрезок $OM$ соединяет вершину $O$ равнобедренного треугольника $AOC$ с серединой его основания $M$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, $OM$ является высотой треугольника $AOC$, и значит $OM \perp AC$.

По условию, точка $O$ лежит на медиане $BM$, значит точки $B, O, M$ лежат на одной прямой. Поскольку отрезок $OM$ перпендикулярен стороне $AC$, то и вся прямая $BM$, содержащая этот отрезок, перпендикулярна стороне $AC$.

Таким образом, в треугольнике $ABC$ отрезок $BM$ является одновременно и медианой (по построению), и высотой (как доказано). Если в треугольнике медиана совпадает с высотой, то такой треугольник является равнобедренным. Для доказательства этого факта рассмотрим треугольники $ABM$ и $CBM$. В них:

• сторона $BM$ — общая;
• $AM = MC$ (так как $BM$ — медиана);
• $\angle BMA = \angle BMC = 90^\circ$ (так как $BM$ — высота).

Следовательно, $\triangle ABM \cong \triangle CBM$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, а именно $AB = BC$. По определению, треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Таким образом, треугольник $ABC$ — равнобедренный.

Ответ: Что и требовалось доказать.

628. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через данную точку, центр которой принадлежит данной прямой.

629. Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, принадлежит его высоте, то этот треугольник равнобедренный.

Для доказательства данного утверждения можно использовать несколько подходов.

Способ 1: Использование свойств равнобедренного треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим $O$ как центр его описанной окружности, а $BH$ — как его высоту, проведенную из вершины $B$ к стороне $AC$. По условию, точка $O$ лежит на прямой, содержащей высоту $BH$.

По определению, центр описанной окружности $O$ равноудален от всех вершин треугольника. Следовательно, отрезки $OA$ и $OC$ равны как радиусы этой окружности: $OA = OC$.

Это означает, что треугольник $AOC$ является равнобедренным с основанием $AC$.

По условию, центр $O$ лежит на высоте $BH$. По определению высоты, $BH \perp AC$. Следовательно, прямая, содержащая высоту $BH$, перпендикулярна стороне $AC$. Так как $O$ лежит на этой прямой, то отрезок $OH$ (где $H$ — основание высоты) является высотой в равнобедренном треугольнике $AOC$, опущенной из вершины $O$ на основание $AC$.

Согласно свойству равнобедренного треугольника, высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Таким образом, точка $H$ является серединой основания $AC$, то есть $AH = HC$.

Теперь вернемся к исходному треугольнику $ABC$. Отрезок $BH$ является его высотой к стороне $AC$ (по построению). Мы также установили, что точка $H$ является серединой стороны $AC$, что делает $BH$ и медианой треугольника $ABC$.

В треугольнике $ABC$ отрезок $BH$ является одновременно и высотой, и медианой. По признаку равнобедренного треугольника, если в треугольнике высота совпадает с медианой, то такой треугольник является равнобедренным. В нашем случае, это означает, что стороны, прилегающие к вершине $B$, равны: $AB = BC$.

Способ 2: Использование конгруэнтности прямоугольных треугольников.

Пусть даны те же обозначения: $\triangle ABC$, описанная окружность с центром $O$ и высота $BH$, причем $O$ лежит на прямой $BH$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OHC$. Они являются прямоугольными, так как $O$ лежит на высоте $BH$, а $BH \perp AC$.
1. Катет $OH$ у них общий.
2. Гипотенузы $OA$ и $OC$ равны, так как являются радиусами одной и той же описанной окружности ($OA=OC=R$).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OHC$ равны по катету и гипотенузе. Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих катетов: $AH = CH$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle CHB$. Они являются прямоугольными (так как $BH$ — высота).
1. Катет $BH$ у них общий.
2. Катеты $AH$ и $CH$ равны, как было доказано выше ($AH = CH$).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle CHB$ равны по двум катетам. Из равенства этих треугольников следует равенство их гипотенуз: $AB = BC$.

Таким образом, треугольник $ABC$ имеет две равные стороны и является равнобедренным.

Ответ: Утверждение доказано. Если центр описанной окружности треугольника лежит на его высоте, то эта высота также является серединным перпендикуляром к стороне, к которой она проведена. Это, в свою очередь, означает, что высота является и медианой, что является признаком равнобедренного треугольника.

629. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.

630. Докажите, что если центр вписанной окружности треугольника принадлежит его высоте, то этот треугольник равнобедренный.

Пусть дан треугольник $ABC$. Проведём в нём высоту $BH$ из вершины $B$ к стороне $AC$. Пусть $I$ — центр вписанной в $\triangle ABC$ окружности.

По условию задачи, точка $I$ (центр вписанной окружности) принадлежит высоте $BH$.

По определению, центр вписанной окружности треугольника является точкой пересечения его биссектрис. Это означает, что точка $I$ лежит на биссектрисе каждого из углов треугольника, в том числе и на биссектрисе угла $B$. Таким образом, луч $BI$ является биссектрисой угла $ABC$.

Так как по условию точка $I$ лежит на высоте $BH$, а по определению она лежит на биссектрисе, проведенной из вершины $B$, то прямая, содержащая высоту $BH$, совпадает с прямой, содержащей биссектрису угла $B$. Следовательно, высота $BH$ является одновременно и биссектрисой треугольника $ABC$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$, которые образованы высотой $BH$.

Сравним эти два треугольника:

• Сторона $BH$ — общая.
• $\angle BHA = \angle BHC = 90^\circ$, поскольку $BH$ — высота.
• $\angle ABH = \angle CBH$, поскольку $BH$ — биссектриса.

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$ равны по катету и прилежащему острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В данном случае, $AB = BC$.

Согласно определению, треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Следовательно, треугольник $ABC$ — равнобедренный.

Ответ: Утверждение, вынесенное в условие задачи, доказано.

630. Найдите все точки, принадлежащие данной окружности и равноудалённые от концов данного отрезка. Сколько решений может иметь задача?

631. Докажите, что если центр окружности, вписанной в треугольник, принадлежит его медиане, то этот треугольник равнобедренный.

Пусть дан треугольник $ABC$. Проведём в нём медиану $BM$ к стороне $AC$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $AC$, а это значит, что $AM = MC$.

Пусть $I$ — это центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности. Согласно условию задачи, точка $I$ лежит на медиане $BM$.

Центр вписанной окружности треугольника (инцентр) является точкой пересечения его биссектрис. Таким образом, отрезки $AI$ и $CI$ являются биссектрисами углов $\angle A$ и $\angle C$ треугольника $ABC$ соответственно.

Рассмотрим треугольник $ABM$. Отрезок $AI$ является биссектрисой угла $\angle BAM$ (который совпадает с углом $\angle BAC$). Эта биссектриса пересекает противолежащую ей сторону $BM$ в точке $I$. По свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Для треугольника $ABM$ это свойство записывается в виде следующего соотношения: $$ \frac{AB}{AM} = \frac{BI}{IM} $$

Аналогично рассмотрим треугольник $CBM$. В этом треугольнике отрезок $CI$ является биссектрисой угла $\angle BCM$ (который совпадает с углом $\angle BCA$). Биссектриса $CI$ также пересекает сторону $BM$ в точке $I$. Применим свойство биссектрисы к треугольнику $CBM$: $$ \frac{BC}{CM} = \frac{BI}{IM} $$

Мы получили два выражения для одного и того же отношения $\frac{BI}{IM}$. Приравнивая их, получаем: $$ \frac{AB}{AM} = \frac{BC}{CM} $$

Как мы установили вначале, $BM$ является медианой, и поэтому $AM = CM$. Заменим в полученном равенстве $CM$ на $AM$: $$ \frac{AB}{AM} = \frac{BC}{AM} $$

Так как длина отрезка $AM$ не равна нулю, мы можем умножить обе части равенства на $AM$, что даёт нам: $$ AB = BC $$

Мы доказали, что две стороны треугольника $ABC$ равны. Следовательно, по определению, треугольник $ABC$ является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

631. Даны две пересекающиеся прямые $m$ и $n$ и отрезок $AB$. Постройте на прямой $m$ точку, удалённую от прямой $n$ на расстояние $AB$. Сколько решений имеет задача?

632. Докажите, что если центры вписанной и описанной окружностей треугольника совпадают, то этот треугольник равносторонний.

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим центр вписанной окружности как $I$, а центр описанной окружности как $O$. По условию задачи, эти центры совпадают. Назовем эту общую точку $P$.

Доказательство проведем в несколько шагов, используя свойства центров окружностей.

1. Так как точка $P$ является центром описанной окружности треугольника $ABC$, она равноудалена от всех его вершин. Это означает, что расстояния от $P$ до вершин $A$, $B$ и $C$ равны радиусу описанной окружности $R$:
$PA = PB = PC = R$

2. Рассмотрим треугольники $APB$, $BPC$ и $CPA$. Поскольку у каждого из них две стороны равны $R$, все три треугольника являются равнобедренными.
- В треугольнике $APB$, так как $PA = PB$, углы при основании $AB$ равны: $∠PAB = ∠PBA$.
- В треугольнике $BPC$, так как $PB = PC$, углы при основании $BC$ равны: $∠PBC = ∠PCB$.
- В треугольнике $CPA$, так как $PC = PA$, углы при основании $AC$ равны: $∠PCA = ∠PAC$.

3. Теперь воспользуемся тем, что точка $P$ также является центром вписанной окружности. Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис углов треугольника. Следовательно, отрезки $AP$, $BP$ и $CP$ являются биссектрисами углов $A$, $B$ и $C$ соответственно.
- $AP$ — биссектриса угла $A$, поэтому она делит его пополам: $∠PAB = ∠PAC$.
- $BP$ — биссектриса угла $B$, поэтому: $∠PBA = ∠PBC$.
- $CP$ — биссектриса угла $C$, поэтому: $∠PCB = ∠PCA$.

4. Объединим равенства, полученные в пунктах 2 и 3. Построим цепочку равенств, последовательно используя свойства равнобедренных треугольников (из п.2) и биссектрис (из п.3):
$∠PAC = ∠PAB$ (т.к. $AP$ - биссектриса)
$∠PAB = ∠PBA$ (т.к. $△APB$ - равнобедренный)
$∠PBA = ∠PBC$ (т.к. $BP$ - биссектриса)
$∠PBC = ∠PCB$ (т.к. $△BPC$ - равнобедренный)
$∠PCB = ∠PCA$ (т.к. $CP$ - биссектриса)
Из этой цепочки следует, что все шесть "малых" углов, на которые биссектрисы делят углы треугольника $ABC$, равны между собой:
$∠PAC = ∠PAB = ∠PBA = ∠PBC = ∠PCB = ∠PCA$.

5. Выразим углы треугольника $ABC$ через эти "малые" углы:
$∠A = ∠PAC + ∠PAB$
$∠B = ∠PBA + ∠PBC$
$∠C = ∠PCB + ∠PCA$
Поскольку все "малые" углы равны, то и углы $A$, $B$ и $C$ равны между собой: $∠A = ∠B = ∠C$.

6. Треугольник, у которого все три угла равны, является равносторонним. Таким образом, треугольник $ABC$ — равносторонний, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Из совпадения центров вписанной и описанной окружностей следует, что все углы треугольника равны между собой, а треугольник с равными углами является равносторонним.

632. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$. На катете $AC$ постройте точку $D$, удалённую от прямой $AB$ на расстояние $CD$.

633. На рисунке 352 в треугольники ABD и CBD вписаны окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно. Докажите, что угол $\angle O_1DO_2$ прямой.

Рис. 352

По определению, центр вписанной в треугольник окружности (инцентр) является точкой пересечения биссектрис его углов.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Окружность с центром в точке $O_1$ вписана в этот треугольник. Следовательно, точка $O_1$ — это инцентр треугольника $ABD$, а луч $DO_1$ является биссектрисой угла $BDA$. Это означает, что он делит угол $BDA$ пополам: $ \angle O_1DB = \frac{1}{2} \angle BDA $

Рассмотрим треугольник $CBD$. Окружность с центром в точке $O_2$ вписана в этот треугольник. Следовательно, точка $O_2$ — это инцентр треугольника $CBD$, а луч $DO_2$ является биссектрисой угла $BDC$. Это означает, что он делит угол $BDC$ пополам: $ \angle O_2DB = \frac{1}{2} \angle BDC $

Угол $O_1DO_2$ является суммой углов $O_1DB$ и $O_2DB$, так как луч $DB$ проходит между лучами $DO_1$ и $DO_2$: $ \angle O_1DO_2 = \angle O_1DB + \angle O_2DB $

Подставим в это равенство выражения для углов $O_1DB$ и $O_2DB$: $ \angle O_1DO_2 = \frac{1}{2} \angle BDA + \frac{1}{2} \angle BDC $

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки: $ \angle O_1DO_2 = \frac{1}{2} (\angle BDA + \angle BDC) $

Поскольку точка $D$ лежит на отрезке $AC$, углы $BDA$ и $BDC$ являются смежными. Сумма смежных углов равна $180^\circ$: $ \angle BDA + \angle BDC = 180^\circ $

Теперь подставим это значение в формулу для угла $O_1DO_2$: $ \angle O_1DO_2 = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ $

Таким образом, мы доказали, что угол $O_1DO_2$ является прямым.

Ответ: Что и требовалось доказать.

633. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и радиусу описанной окружности. Сколько решений может иметь задача?

634. На рисунке 353 в треугольники $ABD$ и $CBD$ вписаны окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно, $\angle ABC = 50^\circ$. Найдите угол $O_1BO_2$.

Рис. 353

По условию задачи, в треугольник $ABD$ вписана окружность с центром в точке $O_1$. Центр вписанной в треугольник окружности (инцентр) является точкой пересечения его биссектрис. Следовательно, точка $O_1$ лежит на биссектрисе угла $ABD$, а это значит, что луч $BO_1$ делит угол $ABD$ пополам.

Таким образом, мы можем записать: $∠O_1BD = \frac{1}{2} ∠ABD$

Аналогично, в треугольник $CBD$ вписана окружность с центром в точке $O_2$. Следовательно, точка $O_2$ является центром вписанной окружности для треугольника $CBD$ и лежит на пересечении его биссектрис. Это означает, что луч $BO_2$ является биссектрисой угла $CBD$.

Поэтому: $∠DBO_2 = \frac{1}{2} ∠CBD$

Угол $O_1BO_2$, который нам нужно найти, состоит из двух смежных углов: $∠O_1BD$ и $∠DBO_2$. Его величина равна их сумме: $∠O_1BO_2 = ∠O_1BD + ∠DBO_2$

Подставим в это равенство выражения для углов $∠O_1BD$ и $∠DBO_2$, полученные ранее: $∠O_1BO_2 = \frac{1}{2} ∠ABD + \frac{1}{2} ∠CBD$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки: $∠O_1BO_2 = \frac{1}{2} (∠ABD + ∠CBD)$

Из рисунка видно, что сумма углов $∠ABD$ и $∠CBD$ составляет угол $∠ABC$: $∠ABD + ∠CBD = ∠ABC$

Следовательно, мы можем переписать формулу для искомого угла: $∠O_1BO_2 = \frac{1}{2} ∠ABC$

По условию задачи, $∠ABC = 50°$. Подставим это значение в формулу: $∠O_1BO_2 = \frac{1}{2} \cdot 50° = 25°$

Ответ: $25°$.

634. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из данных сторон.