Номер 633, страница 160 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 633, страница 160.

633. На рисунке 352 в треугольники ABD и CBD вписаны окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно. Докажите, что угол $\angle O_1DO_2$ прямой.

Рис. 352

По определению, центр вписанной в треугольник окружности (инцентр) является точкой пересечения биссектрис его углов.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Окружность с центром в точке $O_1$ вписана в этот треугольник. Следовательно, точка $O_1$ — это инцентр треугольника $ABD$, а луч $DO_1$ является биссектрисой угла $BDA$. Это означает, что он делит угол $BDA$ пополам: $ \angle O_1DB = \frac{1}{2} \angle BDA $

Рассмотрим треугольник $CBD$. Окружность с центром в точке $O_2$ вписана в этот треугольник. Следовательно, точка $O_2$ — это инцентр треугольника $CBD$, а луч $DO_2$ является биссектрисой угла $BDC$. Это означает, что он делит угол $BDC$ пополам: $ \angle O_2DB = \frac{1}{2} \angle BDC $

Угол $O_1DO_2$ является суммой углов $O_1DB$ и $O_2DB$, так как луч $DB$ проходит между лучами $DO_1$ и $DO_2$: $ \angle O_1DO_2 = \angle O_1DB + \angle O_2DB $

Подставим в это равенство выражения для углов $O_1DB$ и $O_2DB$: $ \angle O_1DO_2 = \frac{1}{2} \angle BDA + \frac{1}{2} \angle BDC $

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки: $ \angle O_1DO_2 = \frac{1}{2} (\angle BDA + \angle BDC) $

Поскольку точка $D$ лежит на отрезке $AC$, углы $BDA$ и $BDC$ являются смежными. Сумма смежных углов равна $180^\circ$: $ \angle BDA + \angle BDC = 180^\circ $

Теперь подставим это значение в формулу для угла $O_1DO_2$: $ \angle O_1DO_2 = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ $

Таким образом, мы доказали, что угол $O_1DO_2$ является прямым.

Ответ: Что и требовалось доказать.

633. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и радиусу описанной окружности. Сколько решений может иметь задача?