Номер 628, страница 160 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 628, страница 160.

628. Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, принадлежит его медиане, то этот треугольник равнобедренный.

Пусть дан треугольник $ABC$. Проведем в нем медиану $BM$ к стороне $AC$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $AC$, то есть $AM = MC$.

Пусть $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. По условию задачи, точка $O$ лежит на медиане $BM$.

Центр описанной окружности $O$ равноудален от всех вершин треугольника. Следовательно, отрезки $OA$ и $OC$ равны как радиусы этой окружности: $OA = OC$. Рассмотрим треугольник $AOC$. Так как $OA = OC$, то треугольник $AOC$ является равнобедренным с основанием $AC$.

Отрезок $OM$ соединяет вершину $O$ равнобедренного треугольника $AOC$ с серединой его основания $M$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, $OM$ является высотой треугольника $AOC$, и значит $OM \perp AC$.

По условию, точка $O$ лежит на медиане $BM$, значит точки $B, O, M$ лежат на одной прямой. Поскольку отрезок $OM$ перпендикулярен стороне $AC$, то и вся прямая $BM$, содержащая этот отрезок, перпендикулярна стороне $AC$.

Таким образом, в треугольнике $ABC$ отрезок $BM$ является одновременно и медианой (по построению), и высотой (как доказано). Если в треугольнике медиана совпадает с высотой, то такой треугольник является равнобедренным. Для доказательства этого факта рассмотрим треугольники $ABM$ и $CBM$. В них:

• сторона $BM$ — общая;
• $AM = MC$ (так как $BM$ — медиана);
• $\angle BMA = \angle BMC = 90^\circ$ (так как $BM$ — высота).

Следовательно, $\triangle ABM \cong \triangle CBM$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, а именно $AB = BC$. По определению, треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Таким образом, треугольник $ABC$ — равнобедренный.

Ответ: Что и требовалось доказать.

628. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через данную точку, центр которой принадлежит данной прямой.