Номер 632, страница 160 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 632, страница 160.

632. Докажите, что если центры вписанной и описанной окружностей треугольника совпадают, то этот треугольник равносторонний.

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим центр вписанной окружности как $I$, а центр описанной окружности как $O$. По условию задачи, эти центры совпадают. Назовем эту общую точку $P$.

Доказательство проведем в несколько шагов, используя свойства центров окружностей.

1. Так как точка $P$ является центром описанной окружности треугольника $ABC$, она равноудалена от всех его вершин. Это означает, что расстояния от $P$ до вершин $A$, $B$ и $C$ равны радиусу описанной окружности $R$:
$PA = PB = PC = R$

2. Рассмотрим треугольники $APB$, $BPC$ и $CPA$. Поскольку у каждого из них две стороны равны $R$, все три треугольника являются равнобедренными.
- В треугольнике $APB$, так как $PA = PB$, углы при основании $AB$ равны: $∠PAB = ∠PBA$.
- В треугольнике $BPC$, так как $PB = PC$, углы при основании $BC$ равны: $∠PBC = ∠PCB$.
- В треугольнике $CPA$, так как $PC = PA$, углы при основании $AC$ равны: $∠PCA = ∠PAC$.

3. Теперь воспользуемся тем, что точка $P$ также является центром вписанной окружности. Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис углов треугольника. Следовательно, отрезки $AP$, $BP$ и $CP$ являются биссектрисами углов $A$, $B$ и $C$ соответственно.
- $AP$ — биссектриса угла $A$, поэтому она делит его пополам: $∠PAB = ∠PAC$.
- $BP$ — биссектриса угла $B$, поэтому: $∠PBA = ∠PBC$.
- $CP$ — биссектриса угла $C$, поэтому: $∠PCB = ∠PCA$.

4. Объединим равенства, полученные в пунктах 2 и 3. Построим цепочку равенств, последовательно используя свойства равнобедренных треугольников (из п.2) и биссектрис (из п.3):
$∠PAC = ∠PAB$ (т.к. $AP$ - биссектриса)
$∠PAB = ∠PBA$ (т.к. $△APB$ - равнобедренный)
$∠PBA = ∠PBC$ (т.к. $BP$ - биссектриса)
$∠PBC = ∠PCB$ (т.к. $△BPC$ - равнобедренный)
$∠PCB = ∠PCA$ (т.к. $CP$ - биссектриса)
Из этой цепочки следует, что все шесть "малых" углов, на которые биссектрисы делят углы треугольника $ABC$, равны между собой:
$∠PAC = ∠PAB = ∠PBA = ∠PBC = ∠PCB = ∠PCA$.

5. Выразим углы треугольника $ABC$ через эти "малые" углы:
$∠A = ∠PAC + ∠PAB$
$∠B = ∠PBA + ∠PBC$
$∠C = ∠PCB + ∠PCA$
Поскольку все "малые" углы равны, то и углы $A$, $B$ и $C$ равны между собой: $∠A = ∠B = ∠C$.

6. Треугольник, у которого все три угла равны, является равносторонним. Таким образом, треугольник $ABC$ — равносторонний, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Из совпадения центров вписанной и описанной окружностей следует, что все углы треугольника равны между собой, а треугольник с равными углами является равносторонним.

632. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$. На катете $AC$ постройте точку $D$, удалённую от прямой $AB$ на расстояние $CD$.