Номер 634, страница 160 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 634, страница 160.

634. На рисунке 353 в треугольники $ABD$ и $CBD$ вписаны окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно, $\angle ABC = 50^\circ$. Найдите угол $O_1BO_2$.

Рис. 353

По условию задачи, в треугольник $ABD$ вписана окружность с центром в точке $O_1$. Центр вписанной в треугольник окружности (инцентр) является точкой пересечения его биссектрис. Следовательно, точка $O_1$ лежит на биссектрисе угла $ABD$, а это значит, что луч $BO_1$ делит угол $ABD$ пополам.

Таким образом, мы можем записать: $∠O_1BD = \frac{1}{2} ∠ABD$

Аналогично, в треугольник $CBD$ вписана окружность с центром в точке $O_2$. Следовательно, точка $O_2$ является центром вписанной окружности для треугольника $CBD$ и лежит на пересечении его биссектрис. Это означает, что луч $BO_2$ является биссектрисой угла $CBD$.

Поэтому: $∠DBO_2 = \frac{1}{2} ∠CBD$

Угол $O_1BO_2$, который нам нужно найти, состоит из двух смежных углов: $∠O_1BD$ и $∠DBO_2$. Его величина равна их сумме: $∠O_1BO_2 = ∠O_1BD + ∠DBO_2$

Подставим в это равенство выражения для углов $∠O_1BD$ и $∠DBO_2$, полученные ранее: $∠O_1BO_2 = \frac{1}{2} ∠ABD + \frac{1}{2} ∠CBD$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки: $∠O_1BO_2 = \frac{1}{2} (∠ABD + ∠CBD)$

Из рисунка видно, что сумма углов $∠ABD$ и $∠CBD$ составляет угол $∠ABC$: $∠ABD + ∠CBD = ∠ABC$

Следовательно, мы можем переписать формулу для искомого угла: $∠O_1BO_2 = \frac{1}{2} ∠ABC$

По условию задачи, $∠ABC = 50°$. Подставим это значение в формулу: $∠O_1BO_2 = \frac{1}{2} \cdot 50° = 25°$

Ответ: $25°$.

634. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из данных сторон.