Номер 640, страница 161 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 640, страница 161.

640. В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся стороны AB в точке M, $BC = a$. Докажите, что $AM = p - a$, где $p$ — полупериметр треугольника ABC.

Пусть вписанная в треугольник $ABC$ окружность касается его сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $M$, $N$ и $K$ соответственно.

По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, длины отрезков от вершины до точек касания равны. Таким образом, мы имеем следующие равенства:
$AM = AK$
$BM = BN$
$CK = CN$

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин его сторон: $P = AB + BC + AC$. Мы можем выразить длины сторон через отрезки, на которые их делят точки касания: $AB = AM + MB$
$BC = BN + NC$
$AC = AK + KC$

Тогда периметр можно записать как: $P = (AM + MB) + (BN + NC) + (CK + KA)$
Сгруппируем равные отрезки, используя свойство касательных: $P = (AM + AK) + (BM + BN) + (CK + CN) = 2 \cdot AM + 2 \cdot BM + 2 \cdot CK$

Полупериметр $p$ по определению равен половине периметра: $p = \frac{P}{2} = \frac{2 \cdot AM + 2 \cdot BM + 2 \cdot CK}{2} = AM + BM + CK$

По условию задачи, длина стороны $BC$ равна $a$. Сторона $BC$ состоит из отрезков $BN$ и $NC$: $BC = BN + NC = a$
Так как $BM = BN$ и $CK = CN$, мы можем переписать выражение для полупериметра $p$, используя другие равные отрезки: $p = AM + BN + CN$

Заметим, что сумма $BN + CN$ в точности равна стороне $BC$, то есть $a$. Подставим это в выражение для полупериметра: $p = AM + (BN + CN)$
$p = AM + a$

Из полученного равенства выразим длину отрезка $AM$: $AM = p - a$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AM = p - a$ доказано.

640. Даны две параллельные прямые и секущая. Постройте окружность, касающуюся этих трёх прямых.