Номер 642, страница 161 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 642, страница 161.

642. В равнобедренный треугольник $ABC (AB = BC)$ с основанием 10 см вписана окружность. К этой окружности проведены три касательные, отсекающие от данного треугольника треугольники $ADK, BEF$ и $CMN$. Сумма периметров этих треугольников равна 42 см. Чему равна боковая сторона данного треугольника?

Пусть в равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ вписана окружность. Обозначим точки касания окружности со сторонами $AB$, $BC$ и $AC$ как $X$, $Y$ и $Z$ соответственно.

Рассмотрим один из отсеченных треугольников, например, $ADK$. Его периметр $P_{ADK}$ равен сумме длин его сторон: $P_{ADK} = AD + AK + DK$.

Прямая $DK$ является касательной к вписанной окружности. Пусть $T_1$ — точка касания прямой $DK$ с окружностью. Согласно свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, длины отрезков касательных от этой точки до точек касания равны.

• Для точки $D$, лежащей на стороне $AB$, отрезки касательных к окружности — это $DT_1$ и $DX$. Следовательно, $DT_1 = DX$.
• Для точки $K$, лежащей на стороне $AC$, отрезки касательных к окружности — это $KT_1$ и $KZ$. Следовательно, $KT_1 = KZ$.

Теперь выразим периметр треугольника $ADK$ через отрезки на сторонах большого треугольника: $P_{ADK} = AD + AK + DK = AD + AK + (DT_1 + T_1K)$
Заменим $DT_1$ на $DX$ и $T_1K$ на $KZ$: $P_{ADK} = AD + AK + DX + KZ$
Сгруппируем слагаемые: $P_{ADK} = (AD + DX) + (AK + KZ)$
Поскольку точки $D$ и $K$ лежат на сторонах треугольника $ABC$, то $AD + DX = AX$ и $AK + KZ = AZ$. Таким образом, периметр треугольника $ADK$ равен $P_{ADK} = AX + AZ$.

Проведем аналогичные рассуждения для двух других отсеченных треугольников, $BEF$ и $CMN$.

• Для треугольника $BEF$ (где $E$ на $AB$, $F$ на $BC$): $P_{BEF} = BX + BY$.
• Для треугольника $CMN$ (где $M$ на $BC$, $N$ на $AC$): $P_{CMN} = CY + CZ$.

По условию задачи, сумма периметров этих трех треугольников равна 42 см: $P_{ADK} + P_{BEF} + P_{CMN} = 42$ см.
Подставим полученные выражения для периметров: $(AX + AZ) + (BX + BY) + (CY + CZ) = 42$
Перегруппируем слагаемые, чтобы получить стороны исходного треугольника $ABC$: $(AX + BX) + (BY + CY) + (AZ + CZ) = 42$
Заметим, что: $AX + BX = AB$
$BY + CY = BC$
$AZ + CZ = AC$
Таким образом, мы приходим к выводу, что сумма периметров отсеченных треугольников равна периметру исходного треугольника $ABC$: $P_{ABC} = AB + BC + AC = 42$ см.

Из условия известно, что треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC = 10$ см и боковыми сторонами $AB = BC$. Обозначим длину боковой стороны как $b$.
Подставим известные значения в формулу периметра: $b + b + 10 = 42$
$2b + 10 = 42$
$2b = 42 - 10$
$2b = 32$
$b = \frac{32}{2} = 16$ см.

Следовательно, боковая сторона данного треугольника равна 16 см.

Ответ: 16 см.

642. Постройте треугольник по стороне, высоте, проведенной к этой стороне, и радиусу описанной окружности. Сколько решений может иметь задача?