Номер 646, страница 162 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 646, страница 162.

646. Точки F и O – центры вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника ABC соответственно (рис. 356). Они находятся на одинаковом расстоянии от его основания AC. Найдите углы треугольника ABC.

Рис. 356

Пусть в равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ углы при основании равны $\angle A = \angle C = \alpha$, а угол при вершине $\angle B = 180^\circ - 2\alpha$. Проведем высоту $BH$ к основанию. Центры вписанной окружности $F$ и описанной окружности $O$ лежат на этой высоте, которая является осью симметрии треугольника.

Расстояние от центра вписанной окружности $F$ до основания $AC$ равно радиусу вписанной окружности $r$. Это расстояние равно длине отрезка $FH$. В прямоугольном треугольнике $AFH$, где $H$ — середина $AC$, а $AF$ — биссектриса угла $A$, имеем $\angle FAH = \alpha/2$. Отсюда:

$FH = r = AH \cdot \tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{AC}{2} \tan(\frac{\alpha}{2})$.

Расстояние от центра описанной окружности $O$ до основания $AC$ равно длине отрезка $OH$. Положение точки $O$ на высоте $BH$ зависит от вида треугольника. По условию $FH = OH$. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Треугольник $ABC$ остроугольный

В этом случае угол при вершине $\beta < 90^\circ$, что эквивалентно условию $\alpha > 45^\circ$. Центр описанной окружности $O$ находится внутри треугольника. В равнобедренном треугольнике $OAC$ ($OA=OC=R$, где $R$ — радиус описанной окружности) центральный угол $\angle AOC$ связан с вписанным углом $\angle B$ соотношением $\angle AOC = 2\beta = 2(180^\circ - 2\alpha) = 360^\circ - 4\alpha$. Высота $OH$ является также биссектрисой, поэтому $\angle AOH = \frac{1}{2}\angle AOC = 180^\circ - 2\alpha$.В прямоугольном треугольнике $OAH$ имеем:$OH = AH \cdot \cot(\angle AOH) = \frac{AC}{2} \cot(180^\circ - 2\alpha) = -\frac{AC}{2} \cot(2\alpha)$.(Так как $\alpha > 45^\circ$, то $2\alpha > 90^\circ$, и $\cot(2\alpha)$ отрицательно, следовательно, $OH$ — положительная величина).Приравнивая $FH$ и $OH$, получаем уравнение:$\frac{AC}{2} \tan(\frac{\alpha}{2}) = -\frac{AC}{2} \cot(2\alpha)$$\tan(\frac{\alpha}{2}) = -\cot(2\alpha)$.Используя формулу приведения $\tan(x - 90^\circ) = -\cot(x)$, получаем:$\tan(\frac{\alpha}{2}) = \tan(2\alpha - 90^\circ)$.Общее решение этого уравнения: $\frac{\alpha}{2} = 2\alpha - 90^\circ + 180^\circ \cdot k$ для целого $k$.$90^\circ = \frac{3\alpha}{2} + 180^\circ \cdot k$.При $k=0$ находим $\frac{3\alpha}{2} = 90^\circ$, откуда $\alpha = 60^\circ$.Это значение удовлетворяет условию $\alpha > 45^\circ$.Таким образом, углы треугольника: $\angle A = 60^\circ, \angle C = 60^\circ, \angle B = 180^\circ - 2 \cdot 60^\circ = 60^\circ$.В этом случае треугольник равносторонний, центры $F$ и $O$ совпадают, и условие равенства расстояний выполняется.

Случай 2: Треугольник $ABC$ тупоугольный

В этом случае тупым может быть только угол при вершине, то есть $\beta > 90^\circ$, что эквивалентно условию $\alpha < 45^\circ$. Центр описанной окружности $O$ находится вне треугольника, с противоположной стороны от основания $AC$. В равнобедренном треугольнике $OAC$ центральный угол $\angle AOC = 360^\circ - 2\beta = 360^\circ - 2(180^\circ - 2\alpha) = 4\alpha$. Высота $OH$ является биссектрисой, поэтому $\angle AOH = \frac{1}{2}\angle AOC = 2\alpha$.В прямоугольном треугольнике $OAH$ имеем:$OH = AH \cdot \cot(\angle AOH) = \frac{AC}{2} \cot(2\alpha)$.Приравнивая $FH$ и $OH$, получаем уравнение:$\frac{AC}{2} \tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{AC}{2} \cot(2\alpha)$$\tan(\frac{\alpha}{2}) = \cot(2\alpha)$.Используя формулу приведения $\tan(90^\circ - x) = \cot(x)$, получаем:$\tan(\frac{\alpha}{2}) = \tan(90^\circ - 2\alpha)$.Общее решение: $\frac{\alpha}{2} = 90^\circ - 2\alpha + 180^\circ \cdot k$ для целого $k$.$\frac{5\alpha}{2} = 90^\circ + 180^\circ \cdot k$.При $k=0$ находим $\frac{5\alpha}{2} = 90^\circ$, откуда $\alpha = 36^\circ$.Это значение удовлетворяет условию $\alpha < 45^\circ$.Таким образом, углы треугольника: $\angle A = 36^\circ, \angle C = 36^\circ, \angle B = 180^\circ - 2 \cdot 36^\circ = 108^\circ$.

Ответ: Углы треугольника могут быть $60^\circ, 60^\circ, 60^\circ$ или $36^\circ, 36^\circ, 108^\circ$.

646. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и сумме катетов.