Номер 643, страница 161 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 643, страница 161.

643. В треугольнике $ABC$ отрезок $BD$ – медиана, $AB = 7$ см, $BC = 8$ см. В треугольники $ABD$ и $BDC$ вписали окружности. Найдите расстояние между точками касания этих окружностей с отрезком $BD$.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведенa медиана $BD$. В треугольники $ABD$ и $BDC$ вписаны окружности. Обозначим точки касания этих окружностей с медианой $BD$ как $M$ и $N$ соответственно. Нам необходимо найти длину отрезка $MN$.

Воспользуемся свойством вписанной в треугольник окружности. Расстояние от вершины треугольника до точки касания на прилежащей к этой вершине стороне равно полупериметру треугольника минус длина противолежащей стороны. Альтернативная формула для этого расстояния от вершины $B$ до точки касания на стороне $BD$ в треугольнике $ABD$ выглядит так:

$BM = \frac{AB + BD - AD}{2}$

Аналогично, для треугольника $BDC$ расстояние от вершины $B$ до точки касания $N$ на стороне $BD$ равно:

$BN = \frac{BC + BD - DC}{2}$

Подставим в эти формулы известные значения длин сторон $AB = 7$ см и $BC = 8$ см:

$BM = \frac{7 + BD - AD}{2}$

$BN = \frac{8 + BD - DC}{2}$

Искомое расстояние между точками касания $M$ и $N$ равно модулю разности длин отрезков $BM$ и $BN$:

$MN = |BM - BN|$

Подставим выражения для $BM$ и $BN$:

$MN = \left| \frac{7 + BD - AD}{2} - \frac{8 + BD - DC}{2} \right|$

Приведем к общему знаменателю и упростим числитель:

$MN = \left| \frac{(7 + BD - AD) - (8 + BD - DC)}{2} \right| = \left| \frac{7 + BD - AD - 8 - BD + DC}{2} \right|$

Члены $BD$ и $-BD$ взаимно уничтожаются:

$MN = \left| \frac{7 - 8 - AD + DC}{2} \right| = \left| \frac{-1 - AD + DC}{2} \right|$

По условию задачи, отрезок $BD$ является медианой треугольника $ABC$. По определению медианы, точка $D$ — середина стороны $AC$, следовательно, $AD = DC$.

Подставим это равенство в полученную формулу:

$MN = \left| \frac{-1 - AD + AD}{2} \right| = \left| \frac{-1}{2} \right| = \frac{1}{2} = 0,5$ см.

Ответ: 0,5 см.

643. Постройте равносторонний треугольник по радиусу описанной окружности.