Номер 648, страница 162 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 648, страница 162.

648. В равнобедренном треугольнике из вершины одного угла при основании провели высоту треугольника, а из вершины другого угла при основании – биссектрису треугольника. Один из углов, образовавшихся при пересечении проведённых биссектрисы и высоты, равен $64^\circ$. Найдите углы данного треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Углы при основании равны, обозначим их $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$. Угол при вершине $\angle ABC = \beta$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому $2\alpha + \beta = 180^\circ$.

Согласно условию, из вершины одного угла при основании (пусть это будет угол $A$) проведена высота $AH$ к боковой стороне $BC$. Из вершины другого угла при основании (угла $C$) проведена биссектриса $CL$ к боковой стороне $AB$. Пусть $M$ — точка пересечения высоты $AH$ и биссектрисы $CL$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$. В нём по определению высоты $\angle AHC = 90^\circ$. Угол $\angle HCA$ является углом $C$ исходного треугольника, то есть $\angle HCA = \alpha$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, следовательно, мы можем найти угол $\angle HAC$:$\angle HAC = 90^\circ - \angle HCA = 90^\circ - \alpha$.

Теперь рассмотрим треугольник $AMC$, образованный пересечением высоты, биссектрисы и основания. Найдём его углы:

• $\angle MCA$: Так как $CL$ — биссектриса угла $BCA$, то $\angle MCA = \angle LCA = \frac{1}{2} \angle BCA = \frac{\alpha}{2}$.
• $\angle MAC$: Этот угол совпадает с найденным ранее углом $\angle HAC$, то есть $\angle MAC = 90^\circ - \alpha$.

Сумма углов в треугольнике $AMC$ равна $180^\circ$. Выразим угол $\angle AMC$:$\angle AMC + \angle MAC + \angle MCA = 180^\circ$$\angle AMC + (90^\circ - \alpha) + \frac{\alpha}{2} = 180^\circ$$\angle AMC + 90^\circ - \frac{\alpha}{2} = 180^\circ$$\angle AMC = 180^\circ - 90^\circ + \frac{\alpha}{2} = 90^\circ + \frac{\alpha}{2}$.

Угол $\angle AMC$ — это один из углов, образовавшихся при пересечении высоты и биссектрисы. Смежный с ним угол будет равен:$180^\circ - \angle AMC = 180^\circ - (90^\circ + \frac{\alpha}{2}) = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Поскольку угол при основании равнобедренного треугольника $\alpha$ всегда острый ($\alpha < 90^\circ$), то $\frac{\alpha}{2} > 0$. Это означает, что угол $\angle AMC = 90^\circ + \frac{\alpha}{2}$ всегда тупой (больше $90^\circ$), а смежный с ним угол $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$ — всегда острый.

По условию задачи, один из углов при пересечении равен $64^\circ$. Так как $64^\circ < 90^\circ$, это острый угол. Следовательно, мы можем составить уравнение:$90^\circ - \frac{\alpha}{2} = 64^\circ$.

Решим это уравнение относительно $\alpha$:$\frac{\alpha}{2} = 90^\circ - 64^\circ$$\frac{\alpha}{2} = 26^\circ$$\alpha = 52^\circ$.

Таким образом, углы при основании треугольника равны $52^\circ$. Теперь найдём угол при вершине:$\beta = 180^\circ - 2\alpha = 180^\circ - 2 \cdot 52^\circ = 180^\circ - 104^\circ = 76^\circ$.

Углы данного треугольника — $52^\circ$, $52^\circ$ и $76^\circ$.

Ответ: Углы треугольника равны $52^\circ, 52^\circ, 76^\circ$.

648. Постройте прямоугольный треугольник по катету и разности гипотенузы и другого катета.