Номер 645, страница 162 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 645, страница 162.

645. Пусть вершина угла $B$ недоступна (рис. 355). С помощью транспортира и линейки без делений постройте прямую, содержащую биссектрису угла $B$.

Рис. 355

Для построения биссектрисы угла с недоступной вершиной можно воспользоваться свойством биссектрис треугольника. Биссектрисы внутренних углов любого треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной окружности (инцентре). Эта точка равноудалена от всех сторон треугольника. Следовательно, если мы сможем построить треугольник, у которого две стороны лежат на сторонах нашего угла $B$, то инцентр этого треугольника будет лежать на биссектрисе угла $B$. Найдя две такие точки, мы сможем провести через них искомую прямую.

Пошаговый алгоритм построения:

1. С помощью линейки проведем произвольную прямую (секущую), которая пересекает стороны угла $B$ в точках $A$ и $C$. Таким образом, мы получаем треугольник $ABC$, вершина $B$ которого недоступна.
2. С помощью транспортира измерим величину угла $\angle BAC$. Разделив ее пополам, построим луч, являющийся биссектрисой этого угла, направленный внутрь треугольника $ABC$.
3. Аналогично с помощью транспортира измерим и построим биссектрису угла $\angle BCA$, также направив ее внутрь треугольника.
4. Две построенные биссектрисы пересекутся в некоторой точке. Обозначим ее $I_1$. Эта точка является инцентром треугольника $ABC$ и, по своему свойству, равноудалена от сторон $BA$ и $BC$. Следовательно, точка $I_1$ лежит на биссектрисе угла $B$. Мы нашли первую точку искомой прямой.
5. Для построения прямой нам необходима вторая точка. Повторим действия: проведем новую произвольную секущую, которая пересечет стороны угла $B$ в других точках, $A'$ и $C'$.
6. Так же, как и в пунктах 2-4, найдем точку пересечения биссектрис углов $\angle BA'C'$ и $\angle BC'A'$. Обозначим эту вторую точку $I_2$. Она также будет лежать на биссектрисе угла $B$.
7. Теперь у нас есть две точки, $I_1$ и $I_2$, принадлежащие биссектрисе угла $B$. С помощью линейки проводим прямую через точки $I_1$ и $I_2$. Эта прямая и будет искомой прямой, содержащей биссектрису угла $B$.

Ответ: Построение выполняется в два этапа для нахождения двух точек искомой биссектрисы. На каждом этапе проводится произвольная секущая, пересекающая стороны угла (например, в точках $A$ и $C$). Затем строятся биссектрисы двух доступных углов образовавшегося треугольника ($\angle BAC$ и $\angle BCA$). Точка их пересечения принадлежит искомой биссектрисе. Повторив процедуру с другой секущей, находят вторую точку. Через две найденные точки проводится искомая прямая.

645. Постройте прямоугольный треугольник по катету и сумме гипотенузы и другого катета.