Номер 639, страница 161 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 639, страница 161.

639. Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, принадлежит его стороне, то этот треугольник прямоугольный.

Пусть дан треугольник $ABC$ и описанная около него окружность с центром в точке $O$.

По условию задачи, центр окружности $O$ принадлежит одной из сторон треугольника. Предположим, что точка $O$ лежит на стороне $AC$.

По определению описанной окружности, все вершины треугольника лежат на этой окружности. Расстояние от центра окружности до любой из её вершин равно радиусу $R$. Следовательно, $OA = OB = OC = R$.

Так как точка $O$ лежит на отрезке $AC$, то длина этого отрезка равна сумме длин отрезков $OA$ и $OC$. Таким образом, длина стороны $AC$ составляет:

$AC = OA + OC = R + R = 2R$.

Хорда окружности, проходящая через её центр, является диаметром. Так как сторона $AC$ проходит через центр $O$ и ее длина равна $2R$, то $AC$ — диаметр описанной окружности.

Угол $\angle ABC$ является вписанным углом, так как его вершина $B$ лежит на окружности, а его стороны $BA$ и $BC$ являются хордами. Этот угол опирается на дугу $AC$.

Поскольку хорда $AC$ является диаметром, дуга $AC$ — это полуокружность, и её градусная мера равна $180^\circ$.

По теореме о вписанном угле, его величина равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Следовательно, величина угла $\angle ABC$ равна:

$\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.

Так как один из углов треугольника $ABC$ равен $90^\circ$, то по определению этот треугольник является прямоугольным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если центр описанной около треугольника окружности принадлежит его стороне, то эта сторона является диаметром. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда равен $90^\circ$, следовательно, такой треугольник является прямоугольным.

639. Постройте окружность, проходящую через данную точку $A$ и касающуюся данной прямой $m$ в данной точке $B$.