Номер 637, страница 161 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 637, страница 161.

637. В треугольник с углами $30^\circ$, $70^\circ$ и $80^\circ$ вписана окружность. Найдите углы треугольника, вершины которого являются точками касания вписанной окружности со сторонами данного треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$ с углами $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 70^\circ$ и $\angle C = 80^\circ$.В этот треугольник вписана окружность с центром в точке $I$.Пусть точки $D, E, F$ – это точки касания вписанной окружности со сторонами $BC, AC$ и $AB$ соответственно.Требуется найти углы треугольника $DEF$.

Для нахождения углов треугольника $DEF$ воспользуемся свойствами вписанной окружности и касательных.

Найдем угол $\angle FDE$. Этот угол является вписанным в окружность, которая для $\triangle ABC$ является вписанной. Угол $\angle FDE$ опирается на дугу $FE$. Величина вписанного угла равна половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. В данном случае это угол $\angle FIE$. Таким образом, $\angle FDE = \frac{1}{2} \angle FIE$.

Чтобы найти величину центрального угла $\angle FIE$, рассмотрим четырехугольник $AFIE$. В этом четырехугольнике:

• $\angle FAE$ — это угол $\angle A$ исходного треугольника.
• $IF$ и $IE$ — радиусы, проведенные к точкам касания, поэтому они перпендикулярны сторонам $AB$ и $AC$ соответственно. Следовательно, $\angle AFI = 90^\circ$ и $\angle AEI = 90^\circ$.

Сумма углов в четырехугольнике равна $360^\circ$. Для четырехугольника $AFIE$ получаем:$\angle FAE + \angle AFI + \angle FIE + \angle IEI = 360^\circ$$\angle A + 90^\circ + \angle FIE + 90^\circ = 360^\circ$$\angle FIE = 360^\circ - 180^\circ - \angle A = 180^\circ - \angle A$

Теперь можем вычислить угол $\angle FDE$:$\angle FDE = \frac{1}{2} \angle FIE = \frac{1}{2}(180^\circ - \angle A) = 90^\circ - \frac{\angle A}{2}$Подставляем известное значение $\angle A = 30^\circ$:$\angle FDE = 90^\circ - \frac{30^\circ}{2} = 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$.

Аналогично рассуждая, найдем два других угла треугольника $DEF$.Угол $\angle DEF$ связан с углом $\angle B$ исходного треугольника:$\angle DEF = 90^\circ - \frac{\angle B}{2}$Подставляем известное значение $\angle B = 70^\circ$:$\angle DEF = 90^\circ - \frac{70^\circ}{2} = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$.

Угол $\angle EFD$ связан с углом $\angle C$ исходного треугольника:$\angle EFD = 90^\circ - \frac{\angle C}{2}$Подставляем известное значение $\angle C = 80^\circ$:$\angle EFD = 90^\circ - \frac{80^\circ}{2} = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$.

Таким образом, мы нашли все три угла треугольника, образованного точками касания. Проверим, что их сумма равна $180^\circ$:$75^\circ + 55^\circ + 50^\circ = 180^\circ$.Вычисления верны.

Ответ: углы треугольника, вершины которого являются точками касания, равны $50^\circ, 55^\circ$ и $75^\circ$.

637. На данной окружности постройте точку, равноудаленную от двух данных пересекающихся прямых. Сколько решений может иметь задача?