Номер 630, страница 160 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 630, страница 160.

630. Докажите, что если центр вписанной окружности треугольника принадлежит его высоте, то этот треугольник равнобедренный.

Пусть дан треугольник $ABC$. Проведём в нём высоту $BH$ из вершины $B$ к стороне $AC$. Пусть $I$ — центр вписанной в $\triangle ABC$ окружности.

По условию задачи, точка $I$ (центр вписанной окружности) принадлежит высоте $BH$.

По определению, центр вписанной окружности треугольника является точкой пересечения его биссектрис. Это означает, что точка $I$ лежит на биссектрисе каждого из углов треугольника, в том числе и на биссектрисе угла $B$. Таким образом, луч $BI$ является биссектрисой угла $ABC$.

Так как по условию точка $I$ лежит на высоте $BH$, а по определению она лежит на биссектрисе, проведенной из вершины $B$, то прямая, содержащая высоту $BH$, совпадает с прямой, содержащей биссектрису угла $B$. Следовательно, высота $BH$ является одновременно и биссектрисой треугольника $ABC$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$, которые образованы высотой $BH$.

Сравним эти два треугольника:

• Сторона $BH$ — общая.
• $\angle BHA = \angle BHC = 90^\circ$, поскольку $BH$ — высота.
• $\angle ABH = \angle CBH$, поскольку $BH$ — биссектриса.

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$ равны по катету и прилежащему острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В данном случае, $AB = BC$.

Согласно определению, треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Следовательно, треугольник $ABC$ — равнобедренный.

Ответ: Утверждение, вынесенное в условие задачи, доказано.

630. Найдите все точки, принадлежащие данной окружности и равноудалённые от концов данного отрезка. Сколько решений может иметь задача?