Номер 623, страница 160 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 623, страница 160.

623. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$ (рис. 351), касается его сторон в точках $M, K$ и $E$, $AM = 13$ см, $BC = 8$ см, $BK = 3$ см. Найдите сторону $AC$.

Для решения задачи воспользуемся свойством касательных к окружности, проведенных из одной точки. Согласно этому свойству, отрезки касательных, проведенных из одной вершины треугольника к точкам касания с вписанной окружностью, равны между собой.

Пусть точки касания $M, K, E$ расположены на сторонах треугольника $ABC$. Из условия задачи даны отрезки $AM$, $BC$ и $BK$. Отрезок $AM$ выходит из вершины $A$, а отрезок $BK$ — из вершины $B$. Это означает, что $M$ — точка касания на одной из сторон, выходящих из $A$ ($AB$ или $AC$), а $K$ — на одной из сторон, выходящих из $B$ ($AB$ или $BC$). Третья точка касания — $E$.

Для определенности предположим, что точка $M$ находится на стороне $AB$, точка $K$ — на стороне $BC$, а точка $E$ — на стороне $AC$. (Стоит отметить, что другой вариант расположения точек касания, соответствующий условию, приведет к такому же результату).

Исходя из свойства касательных, мы можем записать следующие равенства:
1. Отрезки касательных из вершины $A$: $AE = AM$.
2. Отрезки касательных из вершины $B$: $BM = BK$.
3. Отрезки касательных из вершины $C$: $CE = CK$.

Нам нужно найти длину стороны $AC$, которая равна сумме длин отрезков $AE$ и $CE$: $AC = AE + CE$.

Используем данные из условия: $AM = 13$ см, $BC = 8$ см, $BK = 3$ см.

1. Найдем длину отрезка $AE$.
Так как $AE = AM$, а $AM = 13$ см, то $AE = 13$ см.

2. Найдем длину отрезка $CE$.
Мы знаем, что $CE = CK$. Чтобы найти $CK$, рассмотрим сторону $BC$.
Сторона $BC$ состоит из двух отрезков: $BK$ и $CK$.
$BC = BK + CK$
Подставим известные значения:
$8 = 3 + CK$
Отсюда находим $CK$:
$CK = 8 - 3 = 5$ см.
Следовательно, $CE = CK = 5$ см.

3. Теперь вычислим длину стороны $AC$.
$AC = AE + CE = 13 + 5 = 18$ см.

Ответ: 18 см.

623. Точки $A$ и $B$ принадлежат прямой $m$. Постройте точку, удалённую от прямой $m$ на расстояние $a$ и равноудалённую от точек $A$ и $B$. Сколько решений имеет задача?