Номер 616, страница 159 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 616, страница 159.

616. Точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$ (рис. 350). Найдите углы этого треугольника, если $\angle ABO = 38^{\circ}$, $\angle BCO = 22^{\circ}$.

Рис. 350

Поскольку точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC, она представляет собой точку пересечения биссектрис углов этого треугольника. Таким образом, отрезки AO, BO и CO являются биссектрисами углов A, B и C соответственно.

Нахождение угла B

Так как отрезок BO является биссектрисой угла ABC, он делит этот угол на два равных угла: $ \angle ABO = \angle CBO $. Из условия задачи нам известно, что $ \angle ABO = 38^\circ $. Следовательно, величина всего угла B составляет: $ \angle B = 2 \cdot \angle ABO = 2 \cdot 38^\circ = 76^\circ $.

Нахождение угла C

Аналогично, отрезок CO является биссектрисой угла ACB, поэтому $ \angle BCO = \angle ACO $. По условию, $ \angle BCO = 22^\circ $. Следовательно, величина всего угла C составляет: $ \angle C = 2 \cdot \angle BCO = 2 \cdot 22^\circ = 44^\circ $.

Нахождение угла A

Сумма всех углов в любом треугольнике равна $ 180^\circ $. Для треугольника ABC справедливо равенство: $ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ $. Подставив уже найденные значения углов B и C, получим: $ \angle A + 76^\circ + 44^\circ = 180^\circ $ $ \angle A + 120^\circ = 180^\circ $ $ \angle A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ $.

Ответ: Углы треугольника ABC равны $ 60^\circ $, $ 76^\circ $ и $ 44^\circ $.

616. Как разделить на три равные части угол, равный $54^\circ$?