Номер 609, страница 157 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 609, страница 157.

609. Начертите разносторонний остроугольный треугольник.

1) Пользуясь линейкой со шкалой и угольником, найдите центр окружности, описанной около данного треугольника.

2) Опишите около треугольника окружность.

Выполните задания 1 и 2 для разносторонних прямоугольного и тупоугольного треугольников.

Для нахождения центра окружности, описанной около любого треугольника, необходимо построить серединные перпендикуляры к его сторонам. Точка их пересечения является центром описанной окружности. Радиус этой окружности равен расстоянию от найденного центра до любой из вершин треугольника.

Разносторонний остроугольный треугольник

Сначала начертим разносторонний остроугольный треугольник $ABC$ (все углы меньше $90°$, все стороны разной длины).

1) Нахождение центра описанной окружности:

Для того чтобы найти центр описанной окружности, выполним следующие действия:

1. С помощью линейки со шкалой измерим длину стороны $AB$ и найдем ее середину. Обозначим эту точку $M_1$.
2. С помощью угольника приложим одну его сторону к стороне $AB$ треугольника, а по другой стороне проведем прямую, проходящую через точку $M_1$. Эта прямая будет серединным перпендикуляром к стороне $AB$.
3. Повторим те же действия для стороны $BC$. Найдем ее середину, точку $M_2$, и проведем через нее прямую, перпендикулярную $BC$.
4. Точка пересечения двух построенных серединных перпендикуляров является центром описанной окружности. Обозначим эту точку $O$. Для остроугольного треугольника эта точка всегда лежит внутри треугольника.

2) Описание окружности около треугольника:

Для описания окружности (построения) понадобится циркуль. Установим иглу циркуля в найденную точку $O$. Раствор циркуля установим равным расстоянию от точки $O$ до любой из вершин треугольника, например $OA$. Проведем окружность. Она пройдет через все три вершины треугольника: $A$, $B$ и $C$.

Ответ: Центр описанной окружности остроугольного треугольника находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и расположен внутри треугольника.

Разносторонний прямоугольный треугольник

Начертим разносторонний прямоугольный треугольник $DEF$, где, например, угол $E$ равен $90°$. Сторона $DF$ является гипотенузой.

1) Нахождение центра описанной окружности:

Повторим алгоритм построения серединных перпендикуляров. Можно построить серединный перпендикуляр к катету $DE$ и к катету $EF$. Точка их пересечения $O$ и будет центром описанной окружности. В случае прямоугольного треугольника существует свойство: центр описанной окружности лежит на середине его гипотенузы. Таким образом, можно просто найти середину гипотенузы $DF$ с помощью линейки — это и будет точка $O$.

2) Описание окружности около треугольника:

Установим иглу циркуля в точку $O$ (середину гипотенузы $DF$). Радиус окружности будет равен половине длины гипотенузы ($OD$ или $OF$). Проведем окружность. Она пройдет через вершины $D$, $E$ и $F$.

Ответ: Центр описанной окружности прямоугольного треугольника находится на середине его гипотенузы.

Разносторонний тупоугольный треугольник

Начертим разносторонний тупоугольный треугольник $GHI$, где один из углов, например угол $H$, больше $90°$.

1) Нахождение центра описанной окружности:

Используем тот же метод. Построим серединные перпендикуляры к двум любым сторонам, например, $GH$ и $HI$. Для этого находим их середины с помощью линейки и проводим через них перпендикулярные прямые с помощью угольника. Точка пересечения этих перпендикуляров $O$ будет центром описанной окружности. Для тупоугольного треугольника эта точка всегда лежит вне треугольника.

2) Описание окружности около треугольника:

Установим иглу циркуля в найденную точку $O$ (которая находится вне треугольника). Измерим циркулем расстояние от точки $O$ до любой из вершин, например $OG$. Это будет радиус. Проведем окружность, которая пройдет через все три вершины $G$, $H$ и $I$.

Ответ: Центр описанной окружности тупоугольного треугольника находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и расположен вне треугольника.

609. Постройте треугольник по углу и высотам, проведённым из вершин двух других углов.