Номер 3, страница 157 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 3, страница 157.

3. Около какого треугольника можно описать окружность?

Окружность можно описать около любого треугольника.

Это является фундаментальной теоремой планиметрии. Описанная окружность — это окружность, которая проходит через все три вершины треугольника. Для доказательства существования такой окружности для любого треугольника необходимо показать, что всегда существует точка, равноудаленная от всех трех его вершин. Эта точка будет являться центром описанной окружности.

Рассмотрим доказательство на примере произвольного треугольника $ABC$.

1. Построим серединный перпендикуляр к стороне $AB$. Каждая точка этого перпендикуляра по определению равноудалена от вершин $A$ и $B$.

2. Аналогично построим серединный перпендикуляр к стороне $BC$. Каждая его точка равноудалена от вершин $B$ и $C$.

3. Эти два серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке, назовем ее $O$. Они не могут быть параллельными, так как стороны $AB$ и $BC$, к которым они перпендикулярны, не лежат на одной прямой.

4. Поскольку точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AB$, то расстояние от нее до вершин $A$ и $B$ одинаково: $OA = OB$.

5. Поскольку точка $O$ также лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$, то расстояние от нее до вершин $B$ и $C$ тоже одинаково: $OB = OC$.

6. Из полученных равенств следует, что $OA = OB = OC$.

Таким образом, точка $O$ равноудалена от всех трех вершин треугольника. Следовательно, можно провести окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA$, которая пройдет через все три вершины $A$, $B$ и $C$.

Этот вывод справедлив для любого треугольника, независимо от его вида (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный).

Ответ: Окружность можно описать около любого треугольника.

3. Около какого треугольника можно описать окружность?