Номер 607, страница 154 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 21. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 607, страница 154.

607. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BM$, из точки $M$ на сторону $BC$ опущен перпендикуляр $MK$, $\angle ABM = \angle KMC$.

Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

Дано:
Треугольник $ABC$ — остроугольный.
$BM$ — биссектриса $\angle ABC$ ($M \in AC$).
$MK \perp BC$ ($K \in BC$).
$\angle ABM = \angle KMC$.

Доказать:
Треугольник $ABC$ — равнобедренный.

Доказательство:

1. Поскольку $BM$ является биссектрисой угла $\angle ABC$, то по определению она делит этот угол пополам: $\angle ABM = \angle MBC$.

2. По условию задачи также дано, что $\angle ABM = \angle KMC$.

3. Сопоставляя равенства из пунктов 1 и 2, получаем: $\angle MBC = \angle KMC$.

4. Рассмотрим треугольник $KMC$. Так как по условию $MK$ — перпендикуляр к стороне $BC$, то $\angle MKC = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $KMC$ — прямоугольный. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому: $\angle KMC + \angle MCK = 90^\circ$.
Заметим, что $\angle MCK$ — это тот же угол, что и $\angle BCA$ в треугольнике $ABC$. Таким образом, мы можем выразить $\angle KMC$: $\angle KMC = 90^\circ - \angle BCA$.

5. Подставим выражение для $\angle KMC$ из пункта 4 в равенство из пункта 3: $\angle MBC = 90^\circ - \angle BCA$.

6. Вернемся к тому, что $BM$ — биссектриса. Это означает, что $\angle ABC = 2 \cdot \angle MBC$. Используя равенство из пункта 5, получаем: $\angle ABC = 2 \cdot (90^\circ - \angle BCA) = 180^\circ - 2 \cdot \angle BCA$.

7. Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$: $\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ$.
Подставим в это равенство найденное выражение для $\angle ABC$: $\angle BAC + (180^\circ - 2 \cdot \angle BCA) + \angle BCA = 180^\circ$.

8. Упростим полученное уравнение: $\angle BAC + 180^\circ - \angle BCA = 180^\circ$.
$\angle BAC - \angle BCA = 0$.
$\angle BAC = \angle BCA$.

9. В треугольнике $ABC$ углы при основании $AC$ равны. Согласно признаку равнобедренного треугольника, если два угла треугольника равны, то он является равнобедренным.

Ответ: Треугольник $ABC$ является равнобедренным, что и требовалось доказать.

607. Постройте треугольник по двум сторонам и углу, противолежащему одной из этих сторон. Сколько решений может иметь задача?