Номер 601, страница 153 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 21. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 601, страница 153.

601. Прямые, касающиеся окружности с центром O в точках A и B, пересекаются в точке K, $\angle AKB = 120^\circ$. Докажите, что $AK + BK = OK$.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Прямые $AK$ и $BK$ касаются этой окружности в точках $A$ и $B$ соответственно и пересекаются в точке $K$. По условию задачи, угол $\angle AKB = 120^\circ$. Требуется доказать, что $AK + BK = OK$.

1. Рассмотрим отрезки $AK$ и $BK$. По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, их длины равны. Таким образом, $AK = BK$.

2. Проведем радиусы $OA$ и $OB$ в точки касания. По свойству радиуса, проведенного в точку касания, он перпендикулярен касательной. Следовательно, $OA \perp AK$ и $OB \perp BK$. Это означает, что треугольники $\triangle OAK$ и $\triangle OBK$ являются прямоугольными с прямыми углами $\angle OAK = 90^\circ$ и $\angle OBK = 90^\circ$.

3. Рассмотрим отрезок $OK$, соединяющий центр окружности с точкой пересечения касательных. Этот отрезок является биссектрисой угла $\angle AKB$ (это следует из равенства прямоугольных треугольников $\triangle OAK$ и $\triangle OBK$ по катету-радиусу и общей гипотенузе). Следовательно, $\angle OKA = \angle OKB$.

4. Найдем величину угла $\angle OKA$. Так как $OK$ — биссектриса, то:
$\angle OKA = \frac{\angle AKB}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

5. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OAK$. Мы знаем, что $\angle OAK = 90^\circ$ и $\angle OKA = 60^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle AOK$ равен:
$\angle AOK = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

6. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В $\triangle OAK$ катет $AK$ лежит напротив угла $\angle AOK = 30^\circ$, а гипотенузой является сторона $OK$. Таким образом, мы можем записать:
$AK = \frac{1}{2} OK$.

7. Из этого равенства следует, что $OK = 2 \cdot AK$.

8. Используя равенство $AK = BK$ из пункта 1, мы можем выразить сумму $AK + BK$ следующим образом:
$AK + BK = AK + AK = 2 \cdot AK$.

9. Сравнивая результаты из пунктов 7 и 8, мы получаем:
$AK + BK = OK$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что $AK + BK = OK$, доказано.

601. Постройте треугольник по стороне, медиане, проведённой к одной из двух других сторон, и углу между данной стороной и медианой.