Номер 597, страница 153 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 21. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 597, страница 153.

597. Известно, что диаметр $AB$ делит хорду $CD$ пополам, но не перпендикулярен ей. Докажите, что хорда $CD$ также диаметр.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Пусть O — центр окружности. Поскольку AB — это диаметр, центр O лежит на отрезке AB. Пусть M — точка пересечения хорды CD и диаметра AB. По условию, диаметр AB делит хорду CD пополам, следовательно, точка M является серединой отрезка CD, то есть CM = MD.

Предположим, что хорда CD не является диаметром. Это означает, что хорда CD не проходит через центр окружности O, и точки C, O, D образуют треугольник.

Рассмотрим треугольник ΔOCD. Его стороны OC и OD являются радиусами окружности, поэтому они равны: OC = OD. Это значит, что треугольник ΔOCD — равнобедренный с основанием CD.

Отрезок OM в этом треугольнике соединяет вершину O с серединой основания M. Таким образом, OM является медианой треугольника ΔOCD, проведённой к основанию.

Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведённая к основанию, также является его высотой. Следовательно, отрезок OM перпендикулярен основанию CD, то есть $OM \perp CD$.

Точки O и M лежат на прямой, содержащей диаметр AB. Поэтому, если отрезок OM перпендикулярен хорде CD, то и вся прямая AB перпендикулярна хорде CD.

Таким образом, мы пришли к выводу, что $AB \perp CD$. Однако это напрямую противоречит условию задачи, в котором сказано, что диаметр AB не перпендикулярен хорде CD.

Полученное противоречие возникло из-за нашего первоначального предположения о том, что хорда CD не является диаметром. Следовательно, это предположение неверно, и хорда CD на самом деле является диаметром.

Если CD является диаметром, то его середина совпадает с центром окружности O. Так как AB тоже диаметр, он проходит через центр O и, следовательно, делит диаметр CD пополам. При этом два диаметра не обязаны быть перпендикулярными, что полностью согласуется со всеми условиями задачи.

Ответ: Утверждение доказано.

597. Постройте прямоугольный треугольник:

1) по острому углу и биссектрисе этого угла;

2) по катету и высоте, проведённой к гипотенузе.