Номер 596, страница 152 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 21. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 596, страница 152.

596. Отрезки $AB$ и $BC$ соответственно хорда и диаметр окружности, $\angle ABC = 30^\circ$. Через точку $A$ провели касательную к окружности, пересекающую прямую $BC$ в точке $D$. Докажите, что $\triangle ABD$ равнобедренный.

Для доказательства того, что треугольник $\triangle ABD$ является равнобедренным, необходимо показать, что у него равны либо две стороны, либо два угла.

1. Пусть O — центр окружности. Поскольку BC — это диаметр, точка O является его серединой.

2. Проведем радиус OA. Рассмотрим треугольник $\triangle OAB$. Стороны OA и OB являются радиусами одной и той же окружности, поэтому они равны: $OA = OB$. Это означает, что $\triangle OAB$ — равнобедренный.

3. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В $\triangle OAB$ основанием является сторона AB, следовательно, углы $\angle OAB$ и $\angle OBA$ равны. По условию задачи $\angle ABC = 30^\circ$, что совпадает с углом $\angle OBA$. Таким образом, $\angle OAB = \angle OBA = 30^\circ$.

4. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Найдем угол при вершине O в $\triangle OAB$:
$\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

5. Точки B, O и C лежат на одной прямой, так как BC — диаметр. Следовательно, угол $\angle BOC$ является развернутым и равен $180^\circ$. Углы $\angle AOB$ и $\angle AOC$ являются смежными, а значит, их сумма равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle AOC$:
$\angle AOC = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

6. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle OAD$. Прямая AD является касательной к окружности, проведенной через точку A. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. В нашем случае это означает, что $OA \perp AD$, и, следовательно, $\angle OAD = 90^\circ$.

7. В $\triangle OAD$ нам известны два угла: $\angle OAD = 90^\circ$ и $\angle AOD = \angle AOC = 60^\circ$ (поскольку точка D лежит на прямой BC). Найдем третий угол этого треугольника, $\angle ODA$:
$\angle ODA = 180^\circ - (\angle OAD + \angle AOD) = 180^\circ - (90^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

8. Угол $\angle ODA$ — это тот же самый угол, что и $\angle BDA$ в треугольнике $\triangle ABD$.

9. Таким образом, в треугольнике $\triangle ABD$ мы имеем два равных угла:

• $\angle ABD = 30^\circ$ (по условию).
• $\angle BDA = 30^\circ$ (как было доказано выше).

Поскольку в треугольнике $\triangle ABD$ два угла равны, он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны, то есть $AB = AD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник $\triangle ABD$ является равнобедренным, так как два его угла равны ($\angle ABD = \angle ADB = 30^\circ$), что доказывает равенство сторон $AB$ и $AD$.

596. Как разделить пополам отрезок, длина которого в несколько раз больше наибольшего раствора циркуля?