Номер 595, страница 152 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 21. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 595, страница 152.

595. Прямая AC касается окружности с центром $O$ в точке $A$ (рис. 339). Докажите, что угол $BAC$ в 2 раза меньше угла $AOB$.

Рис. 339

Рассмотрим треугольник $AOB$. В этом треугольнике стороны $OA$ и $OB$ равны как радиусы одной и той же окружности ($OA = OB = R$). Следовательно, треугольник $AOB$ является равнобедренным с основанием $AB$.

По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны: $∠OAB = ∠OBA$.

Сумма углов любого треугольника составляет $180°$. Для треугольника $AOB$ это записывается как:

$∠AOB + ∠OAB + ∠OBA = 180°$

Поскольку $∠OAB = ∠OBA$, мы можем переписать это уравнение:

$∠AOB + 2 \cdot ∠OAB = 180°$

Выразим из этого уравнения угол $∠OAB$:

$2 \cdot ∠OAB = 180° - ∠AOB$

$∠OAB = \frac{180° - ∠AOB}{2} = 90° - \frac{1}{2}∠AOB$

Теперь рассмотрим касательную $AC$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. В нашем случае радиус $OA$ проведен в точку касания $A$, следовательно, $OA \perp AC$. Это означает, что угол между радиусом и касательной равен $90°$:

$∠OAC = 90°$

Из рисунка видно, что угол $∠OAC$ состоит из двух углов: $∠OAB$ и $∠BAC$. Таким образом:

$∠OAC = ∠OAB + ∠BAC$

Подставляя известное значение $∠OAC = 90°$, получаем:

$90° = ∠OAB + ∠BAC$

Выразим отсюда угол $∠BAC$:

$∠BAC = 90° - ∠OAB$

Наконец, подставим в это равенство ранее найденное выражение для $∠OAB = 90° - \frac{1}{2}∠AOB$:

$∠BAC = 90° - (90° - \frac{1}{2}∠AOB)$

$∠BAC = 90° - 90° + \frac{1}{2}∠AOB$

$∠BAC = \frac{1}{2}∠AOB$

Это равенство означает, что угол $BAC$ в 2 раза меньше угла $AOB$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, $∠BAC = \frac{1}{2}∠AOB$.

595. Постройте окружность, центром которой является данная точка на стороне данного острого угла и которая отсекает на другой стороне угла отрезок данной длины.