Номер 588, страница 152 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 21. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 588, страница 152.

588. В окружности с центром O через середину радиуса провели хорду AB, перпендикулярную ему. Докажите, что $\angle AOB = 120^\circ$.

Пусть $R$ — радиус окружности с центром в точке $O$. Пусть $OC$ — радиус, о котором говорится в условии, а точка $M$ — его середина. Тогда $OM = \frac{OC}{2} = \frac{R}{2}$. Через точку $M$ проведена хорда $AB$, перпендикулярная радиусу $OC$, то есть $AB \perp OC$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OMA$. Он является прямоугольным, так как по условию $AB \perp OC$, а значит $\angle OMA = 90^\circ$. Сторона $OA$ является гипотенузой этого треугольника, так как $A$ лежит на окружности, и $OA$ — радиус. Таким образом, $OA = R$. Катет $OM$ по условию равен половине радиуса: $OM = \frac{R}{2}$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle OMA$ можем найти косинус угла $\angle AOM$, который равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

$ \cos(\angle AOM) = \frac{OM}{OA} = \frac{R/2}{R} = \frac{1}{2} $

Из этого равенства следует, что величина угла $\angle AOM$ составляет $60^\circ$.

Теперь рассмотрим центральный угол $\angle AOB$. Треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным, поскольку его стороны $OA$ и $OB$ равны как радиусы одной окружности ($OA = OB = R$). Отрезок $OM$ является высотой этого треугольника, проведенной к основанию $AB$ (так как $OM$ является частью радиуса $OC$, перпендикулярного хорде $AB$). В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и биссектрисой угла при вершине. Следовательно, $OM$ — биссектриса угла $\angle AOB$, и $\angle AOB = 2 \cdot \angle AOM$.

Подставим найденное значение угла $\angle AOM$:

$ \angle AOB = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ $.

Таким образом, мы доказали, что $\angle AOB = 120^\circ$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

588. Дан угол, равный $30^\circ$. Постройте окружность заданного радиуса с центром, принадлежащим одной из сторон данного угла, касающуюся его другой стороны.