Номер 591, страница 152 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 21. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 591, страница 152.

591. Прямые $AB$ и $AC$ касаются окружности с центром $O$ в точках $B$ и $C$.

Докажите, что луч $AO$ – биссектриса угла $BAC$.

Для доказательства того, что луч $AO$ является биссектрисой угла $BAC$, необходимо показать, что он делит этот угол на два равных угла, то есть $\angle BAO = \angle CAO$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABO$ и $\triangle ACO$.

1. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Поскольку $AB$ и $AC$ — касательные в точках $B$ и $C$ соответственно, то $OB \perp AB$ и $OC \perp AC$. Это означает, что $\triangle ABO$ и $\triangle ACO$ являются прямоугольными треугольниками, где $\angle ABO = 90^\circ$ и $\angle ACO = 90^\circ$.

2. Стороны $OB$ и $OC$ являются радиусами одной и той же окружности с центром в точке $O$, следовательно, их длины равны: $OB = OC$.

3. Сторона $AO$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle ABO$ и $\triangle ACO$ равны по гипотенузе (общая сторона $AO$) и катету ($OB = OC$).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Углы $\angle BAO$ и $\angle CAO$ лежат напротив равных катетов $OB$ и $OC$ соответственно, поэтому $\angle BAO = \angle CAO$.

Поскольку луч $AO$ делит угол $BAC$ на два равных угла, по определению он является биссектрисой этого угла.

Ответ: Утверждение доказано. Так как $\triangle ABO \cong \triangle ACO$, то $\angle BAO = \angle CAO$, следовательно, луч $AO$ является биссектрисой угла $BAC$.

591. Постройте прямоугольный треугольник по катету и противолежащему острому углу.