Номер 593, страница 152 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 21. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 593, страница 152.

593. Через концы хорды $AB$, равной радиусу окружности, провели две касательные, пересекающиеся в точке $C$. Найдите угол $ACB$.

Пусть $O$ — центр окружности, а $R$ — её радиус. Согласно условию, хорда $AB$ равна радиусу окружности, то есть $AB = R$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAB$, образованный хордой $AB$ и двумя радиусами $OA$ и $OB$, проведенными к ее концам. Так как $OA = R$ и $OB = R$, а по условию $AB = R$, то все стороны этого треугольника равны: $OA = OB = AB = R$. Следовательно, треугольник $\triangle OAB$ является равносторонним.

Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Таким образом, центральный угол, опирающийся на хорду $AB$, равен $\angle AOB = 60^\circ$.

Через концы хорды, точки $A$ и $B$, проведены касательные, которые пересекаются в точке $C$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Это означает, что $OA \perp AC$ и $OB \perp BC$. Отсюда следует, что углы $\angle OAC$ и $\angle OBC$ являются прямыми: $\angle OAC = 90^\circ$ и $\angle OBC = 90^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $OACB$. Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника составляет $360^\circ$. Для четырехугольника $OACB$ можно записать следующее равенство:
$\angle AOB + \angle OAC + \angle OBC + \angle ACB = 360^\circ$

Подставим известные величины углов в это уравнение:
$60^\circ + 90^\circ + 90^\circ + \angle ACB = 360^\circ$
$240^\circ + \angle ACB = 360^\circ$

Из этого уравнения находим искомый угол $\angle ACB$:
$\angle ACB = 360^\circ - 240^\circ$
$\angle ACB = 120^\circ$

Ответ: $120^\circ$.

593. Постройте равнобедренный треугольник:

1) по основанию и углу при основании;

2) по боковой стороне и углу при основании;

3) по боковой стороне и высоте, проведённой к основанию.