Номер 599, страница 153 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 21. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 599, страница 153.

599. Найдите геометрическое место центров окружностей, которые касаются обеих сторон данного угла.

Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек, обладающих определённым свойством. В данной задаче мы ищем множество всех точек, которые могут быть центрами окружностей, касающихся обеих сторон данного угла.

Пусть дан угол с вершиной в точке $V$ и сторонами $a$ и $b$. Пусть точка $O$ является центром некоторой окружности, которая касается сторон $a$ и $b$.

По определению, расстояние от центра окружности до прямой, касающейся этой окружности, равно её радиусу. Если окружность с центром $O$ и радиусом $r$ касается стороны $a$ в точке $A$ и стороны $b$ в точке $B$, то:

1. Отрезок $OA$ является радиусом и перпендикулярен стороне $a$. Длина $OA$ равна $r$.

2. Отрезок $OB$ является радиусом и перпендикулярен стороне $b$. Длина $OB$ равна $r$.

Таким образом, расстояние от точки $O$ до стороны $a$ равно расстоянию от точки $O$ до стороны $b$, и оба эти расстояния равны радиусу $r$. Это означает, что любая точка, являющаяся центром такой окружности, равноудалена от сторон данного угла.

Известно, что геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла, является его биссектриса. Докажем это утверждение в обе стороны.

Доказательство:

1. Прямое утверждение: Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. Пусть $O$ — произвольная точка на биссектрисе угла с вершиной $V$. Опустим из точки $O$ перпендикуляры $OA$ и $OB$ на стороны угла. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OVA$ и $\triangle OVB$. У них общая гипотенуза $OV$, и углы $\angle AVO$ и $\angle BVO$ равны, так как $OV$ — биссектриса. Следовательно, $\triangle OVA \cong \triangle OVB$ по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих катетов: $OA = OB$. Таким образом, любая точка на биссектрисе является центром окружности, касающейся сторон угла.

2. Обратное утверждение: Каждая точка, равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе. Пусть точка $O$ находится внутри угла и равноудалена от его сторон. Это означает, что длины перпендикуляров, опущенных из $O$ на стороны угла, равны. Пусть $OA \perp a$ и $OB \perp b$, причем $OA = OB$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OVA$ и $\triangle OVB$. У них общая гипотенуза $OV$, а катеты $OA$ и $OB$ равны по условию. Следовательно, $\triangle OVA \cong \triangle OVB$ по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов: $\angle AVO = \angle BVO$. Это означает, что луч $OV$ является биссектрисой угла, и точка $O$ лежит на ней.

Совместив оба утверждения, мы заключаем, что искомое геометрическое место точек — это биссектриса данного угла.

Ответ: Биссектриса данного угла.

599. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и радиусу вписанной окружности.