Номер 603, страница 153 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 21. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 603, страница 153.

603. Через точку $C$ проведены касательные $AC$ и $BC$ к окружности, $A$ и $B$ — точки касания (рис. 340). На окружности взяли произвольную точку $M$, лежащую в одной полуплоскости с точкой $C$ относительно прямой $AB$, и через нее провели касательную к окружности, пересекающую прямые $AC$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Докажите, что периметр треугольника $DEC$ не зависит от выбора точки $M$.

Рис. 340

Для доказательства утверждения найдем периметр треугольника $DEC$. Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон:

$P_{DEC} = DC + CE + DE$

Сторона $DE$ является отрезком касательной к окружности в точке $M$. Она состоит из двух отрезков, $DM$ и $ME$, так как точка $M$ лежит между точками $D$ и $E$. Таким образом, мы можем записать: $DE = DM + ME$.

Подставим это выражение в формулу для периметра:

$P_{DEC} = DC + CE + DM + ME$

Теперь воспользуемся основным свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки. Это свойство гласит, что длины отрезков касательных от внешней точки до точек касания равны.

Рассмотрим точку $D$. Из нее к окружности проведены две касательные: $DA$ (часть прямой $AC$) и $DM$ (часть прямой $DE$). Следовательно, длины этих отрезков равны:

$DA = DM$

Аналогично рассмотрим точку $E$. Из нее также проведены две касательные к окружности: $EB$ (часть прямой $BC$) и $EM$ (часть прямой $DE$). Следовательно, их длины тоже равны:

$EB = EM$

Теперь в выражении для периметра треугольника $DEC$ мы можем заменить $DM$ на $DA$ и $ME$ на $EB$:

$P_{DEC} = DC + CE + DA + EB$

Сгруппируем слагаемые, чтобы увидеть знакомые отрезки:

$P_{DEC} = (DC + DA) + (CE + EB)$

Как видно из условия и рисунка, точка $D$ лежит на отрезке $AC$, а точка $E$ — на отрезке $BC$. Поэтому сумма длин отрезков $(DC + DA)$ равна длине всего отрезка $AC$, а сумма $(CE + EB)$ равна длине всего отрезка $BC$.

$DC + DA = AC$

$CE + EB = BC$

Таким образом, периметр треугольника $DEC$ равен сумме длин касательных $AC$ и $BC$:

$P_{DEC} = AC + BC$

Длины касательных $AC$ и $BC$ зависят только от положения точки $C$ и самой окружности, но не зависят от положения точки $M$ на дуге $AB$. Поскольку длины $AC$ и $BC$ являются постоянными для данной задачи, их сумма также является постоянной величиной. Следовательно, периметр треугольника $DEC$ не зависит от выбора точки $M$.

Ответ: Периметр треугольника $DEC$ равен сумме длин касательных $AC + BC$. Так как длины этих касательных для заданной окружности и точки $C$ постоянны, то и периметр треугольника $DEC$ не зависит от выбора точки $M$. Что и требовалось доказать.

603. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, проведённой к одной из этих сторон. Сколько решений может иметь задача?