Номер 606, страница 154 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 21. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 606, страница 154.

606. На стороне $MK$ треугольника $MPK$ отметили точки $E$ и $F$ так, что точка $E$ лежит между точками $M$ и $F$, $ME = EP$, $PF = FK$. Найдите угол $M$, если $\angle EPF = 92^\circ$, $\angle K = 26^\circ$.

Рассмотрим треугольник $MEP$. По условию задачи стороны $ME$ и $EP$ равны ($ME = EP$), следовательно, треугольник $MEP$ является равнобедренным с основанием $MP$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle M = \angle MPE$. Обозначим величину этих углов через $x$, то есть $\angle M = \angle MPE = x$.

Рассмотрим треугольник $PFK$. По условию стороны $PF$ и $FK$ равны ($PF = FK$), следовательно, треугольник $PFK$ также является равнобедренным с основанием $PK$. Углы при основании этого треугольника равны: $\angle K = \angle FPK$. Из условия известно, что $\angle K = 26^\circ$, значит $\angle FPK = 26^\circ$.

Угол $\angle MPK$ в основном треугольнике $MPK$ состоит из суммы трех углов: $\angle MPE$, $\angle EPF$ и $\angle FPK$, так как точки $E$ и $F$ лежат на стороне $MK$.

$\angle MPK = \angle MPE + \angle EPF + \angle FPK$

Подставим известные значения: $\angle MPE = x$, $\angle EPF = 92^\circ$ (по условию) и $\angle FPK = 26^\circ$.

$\angle MPK = x + 92^\circ + 26^\circ = x + 118^\circ$

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $MPK$ это записывается как:

$\angle M + \angle MPK + \angle K = 180^\circ$

Подставим в это уравнение выражения для углов, которые мы нашли:

$x + (x + 118^\circ) + 26^\circ = 180^\circ$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$2x + 144^\circ = 180^\circ$

$2x = 180^\circ - 144^\circ$

$2x = 36^\circ$

$x = \frac{36^\circ}{2}$

$x = 18^\circ$

Поскольку мы обозначили $\angle M$ как $x$, то искомый угол $M$ равен $18^\circ$.

Ответ: $18^\circ$.

606. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, проведённой к третьей стороне. Сколько решений может иметь задача?