Номер 4, страница 157 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 4, страница 157.

4. Какая точка является центром окружности, описанной около треугольника?

Центр описанной около треугольника окружности

Окружность, описанная около треугольника, — это окружность, которая проходит через все три его вершины. Центр этой окружности является точкой, равноудаленной от всех трех вершин треугольника.

Чтобы найти эту точку, используется свойство серединного перпендикуляра. Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, которая проходит через середину этого отрезка и перпендикулярна ему. Любая точка на серединном перпендикуляре к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть точка $O$ — центр его описанной окружности. По определению, расстояния от точки $O$ до вершин равны: $OA = OB = OC$.

• Так как $OA = OB$, точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AB$.
• Так как $OB = OC$, точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$.
• Так как $OC = OA$, точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AC$.

Таким образом, центр описанной окружности является точкой, которая принадлежит всем трем серединным перпендикулярам к сторонам треугольника. Согласно фундаментальной теореме геометрии, три серединных перпендикуляра к сторонам любого треугольника всегда пересекаются в одной точке. Эта точка и является искомым центром.

Расположение этой точки зависит от вида треугольника:

• В остроугольном треугольнике центр описанной окружности лежит внутри треугольника.
• В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.
• В тупоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит вне треугольника.

Ответ: Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

4. Какая точка является центром окружности, описанной около треугольника?