Номер 7, страница 157 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 7, страница 157.

7. В какой треугольник можно вписать окружность?

Окружность можно вписать в любой треугольник. Это является фундаментальным свойством треугольника как геометрической фигуры.

Обоснование:

Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех трех сторон треугольника. Центр такой окружности называется инцентром.

Теорема о вписанной окружности гласит, что в любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Её центр — это точка пересечения биссектрис углов треугольника.

Поскольку биссектрисы трех углов любого треугольника (будь он остроугольный, прямоугольный или тупоугольный) всегда пересекаются в одной точке, и эта точка всегда находится внутри треугольника, то и вписать окружность можно в абсолютно любой треугольник. Эта точка пересечения биссектрис равноудалена от всех сторон треугольника, и это расстояние является радиусом $r$ вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности можно вычислить по формуле: $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — это площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр ($p = \frac{a+b+c}{2}$, где $a, b, c$ — длины сторон).

Ответ: Окружность можно вписать в любой треугольник.

7. В какой треугольник можно вписать окружность?