Номер 8, страница 157 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 8, страница 157.

8. Какая точка является центром окружности, вписанной в треугольник?

Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения его биссектрис. Эта точка также называется инцентром.

Обоснование:

По определению, вписанная окружность — это окружность, которая касается всех сторон треугольника. Следовательно, её центр должен быть равноудален от всех трех сторон треугольника.

Рассмотрим свойство биссектрисы угла: любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы углов $A$ и $B$, которые пересекаются в точке $I$.

1. Так как точка $I$ лежит на биссектрисе угла $A$, она равноудалена от сторон $AB$ и $AC$.
2. Так как точка $I$ лежит на биссектрисе угла $B$, она равноудалена от сторон $BA$ и $BC$.

Из этих двух утверждений следует, что точка $I$ равноудалена от всех трех сторон треугольника: $AB$, $AC$ и $BC$. Расстояние от точки $I$ до каждой из сторон будет радиусом $r$ вписанной окружности. Также из этого следует, что третья биссектриса, проведенная из угла $C$, тоже пройдет через точку $I$.

Таким образом, точка пересечения биссектрис является единственной точкой, равноудаленной от всех сторон треугольника, и, следовательно, является центром вписанной окружности.

Ответ: Точка пересечения биссектрис углов треугольника.

8. Какая точка является центром окружности, вписанной в треугольник?