Номер 613, страница 158 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 613, страница 158.

613. Начертите равнобедренный треугольник. Выполните задания 1, 2 и 3 из задания 612.

Сначала начертим равнобедренный треугольник $ABC$. В этом треугольнике боковые стороны равны, $AB = BC$, а сторона $AC$ является основанием. Согласно свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

Далее выполним задания, указанные в условии, для этого треугольника.

1.

Первое задание — построить биссектрисы углов треугольника. Биссектриса — это отрезок, выходящий из вершины угла и делящий его пополам.

• Проведем биссектрису угла $\angle B$, противолежащего основанию. Обозначим ее $BK$. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой. Это значит, что точка $K$ — середина стороны $AC$, а отрезок $BK$ перпендикулярен основанию $AC$ ($BK \perp AC$). Линия, содержащая $BK$, является осью симметрии треугольника.
• Проведем биссектрисы углов при основании, $\angle A$ и $\angle C$. Обозначим их $AL$ и $CM$ соответственно.
• Так как углы при основании равны ($\angle A = \angle C$), то и биссектрисы, проведенные из этих вершин к боковым сторонам, равны по длине: $AL = CM$.
• Все три биссектрисы треугольника ($BK$, $AL$ и $CM$) пересекаются в одной точке, которая называется инцентром (центром вписанной окружности). В равнобедренном треугольнике эта точка всегда лежит на оси симметрии $BK$.

Ответ: Построены биссектрисы $BK$, $AL$, $CM$. Биссектриса $BK$, проведенная к основанию, совпадает с медианой и высотой. Все биссектрисы пересекаются в одной точке, лежащей на высоте $BK$.

2.

Второе задание — построить медианы треугольника. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

• Проведем медиану из вершины $B$ к основанию $AC$. Для этого находим середину $AC$ (точку $K$) и соединяем ее с вершиной $B$. Эта медиана $BK$ в равнобедренном треугольнике совпадает с биссектрисой и высотой, проведенными из той же вершины.
• Проведем медианы из вершин $A$ и $C$. Для этого найдем середину стороны $BC$ (точку $L'$) и проведем медиану $AL'$. Затем найдем середину стороны $AB$ (точку $M'$) и проведем медиану $CM'$.
• Поскольку боковые стороны равны ($AB = BC$), медианы, проведенные к ним, также равны по длине: $AL' = CM'$.
• Все три медианы ($BK$, $AL'$ и $CM'$) пересекаются в одной точке, которая называется центроидом треугольника. Эта точка также лежит на оси симметрии $BK$.

Ответ: Построены медианы $BK$, $AL'$, $CM'$. Медиана $BK$, проведенная к основанию, является также биссектрисой и высотой. Все медианы пересекаются в одной точке (центроиде), лежащей на высоте $BK$.

3.

Третье задание — построить высоты треугольника. Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону.

• Проведем высоту из вершины $B$ на основание $AC$. Эта высота $BK$ совпадает с медианой и биссектрисой, проведенными к основанию, то есть $BK \perp AC$.
• Проведем высоты из вершин $A$ и $C$ к боковым сторонам. Из вершины $A$ опустим перпендикуляр $AH$ на сторону $BC$ ($AH \perp BC$). Из вершины $C$ опустим перпендикуляр $CF$ на сторону $AB$ ($CF \perp AB$).
• В равнобедренном треугольнике высоты, проведенные к равным боковым сторонам, равны по длине: $AH = CF$.
• Все три высоты ($BK$, $AH$ и $CF$) пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника. Ортоцентр равнобедренного треугольника также лежит на его оси симметрии $BK$.

Ответ: Построены высоты $BK$, $AH$, $CF$. Высота $BK$, проведенная к основанию, совпадает с медианой и биссектрисой. Все высоты пересекаются в одной точке (ортоцентре), лежащей на высоте $BK$.

613. Постройте треугольник по радиусу вписанной окружности и отрезкам, на которые точка касания вписанной окружности делит одну из сторон.