Страница 158 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

611. Перерисуйте в тетрадь рисунок 347. Проведите через точки A, B, C окружность, пользуясь линейкой со шкалой, угольником и циркулем.

Рис. 347

Для того чтобы построить окружность, проходящую через три заданные точки A, B и C, которые не лежат на одной прямой, необходимо найти ее центр и радиус. Центром такой окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам, соединяющим эти точки (например, к отрезкам AB и BC). Это следует из свойства серединного перпендикуляра: любая его точка равноудалена от концов отрезка.

Алгоритм построения следующий:

1. Соединение точек

С помощью линейки соединяем точки A и B, получая отрезок AB. Затем соединяем точки B и C, получая отрезок BC.

2. Построение серединного перпендикуляра к отрезку AB

Серединный перпендикуляр — это прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему. Построить его можно одним из двух способов, используя данные инструменты:

• С помощью циркуля и линейки: Устанавливаем раствор циркуля на расстояние, заведомо большее половины длины отрезка AB. Проводим две дуги из точек A и B как из центров. Затем через две точки пересечения этих дуг проводим прямую с помощью линейки. Эта прямая и будет искомым серединным перпендикуляром.
• С помощью линейки со шкалой и угольника: С помощью линейки измеряем длину отрезка AB и отмечаем его середину. Затем прикладываем одну сторону угольника к отрезку AB, а по другой его стороне, которая образует прямой угол и проходит через отмеченную середину, проводим прямую.

3. Построение серединного перпендикуляра к отрезку BC

Аналогично пункту 2 строим серединный перпендикуляр к отрезку BC, используя либо циркуль с линейкой, либо линейку со шкалой и угольник.

4. Нахождение центра окружности

Точка пересечения двух построенных серединных перпендикуляров является центром искомой окружности. Обозначим эту точку O. Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к AB, расстояние от нее до точек A и B одинаково: $OA = OB$. Так как O также лежит на серединном перпендикуляре к BC, то $OB = OC$. Следовательно, точка O равноудалена от всех трех точек: $OA = OB = OC$.

5. Построение окружности

Радиус окружности равен расстоянию от центра O до любой из трех точек (A, B или C).

• Устанавливаем острие циркуля в найденный центр O.
• Подбираем раствор циркуля так, чтобы грифель оказался в точке A (или B, или C). Это и будет радиус $R = OA$.
• Проводим окружность. По построению она пройдет через все три точки.

Ответ:

Чтобы провести окружность через точки A, B и C, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Соединить точки отрезками AB и BC.
2. Построить серединный перпендикуляр к отрезку AB.
3. Построить серединный перпендикуляр к отрезку BC.
4. Найти точку пересечения этих двух перпендикуляров – это будет центр окружности O.
5. Поставить ножку циркуля в точку O, задать радиус, равный расстоянию OA (или OB, или OC), и начертить окружность.

611. Постройте прямоугольный треугольник по катету и радиусу вписанной окружности.

612. Начертите разносторонний треугольник.

1) Пользуясь линейкой и транспортиром, найдите центр окружности, вписанной в данный треугольник.

2) Пользуясь угольником, найдите точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника.

3) Впишите в данный треугольник окружность.

Для решения этой задачи сначала необходимо начертить произвольный разносторонний треугольник, то есть треугольник, у которого все стороны имеют разную длину. Обозначим его вершины буквами A, B и C.

(На рисунке представлен пример выполнения всех шагов)

Центр вписанной в треугольник окружности (инцентр) является точкой пересечения его биссектрис. Чтобы найти эту точку, достаточно построить две биссектрисы.

1. С помощью транспортира измерьте один из углов треугольника, например, угол A ($\angle BAC$). Пусть его величина равна $\alpha$.
2. Вычислите половину этого угла: $\alpha/2$.
3. Приложите транспортир к вершине A и стороне AC. Отметьте точку, соответствующую углу $\alpha/2$.
4. С помощью линейки проведите луч из вершины A через отмеченную точку. Этот луч будет биссектрисой угла A.
5. Повторите те же действия для другого угла, например, угла B ($\angle ABC$). Измерьте его величину $\beta$, вычислите $\beta/2$ и постройте его биссектрису.
6. Точка пересечения построенных биссектрис (обозначим ее O) и будет являться центром вписанной окружности. Для проверки можно построить биссектрису третьего угла C — она также должна пройти через точку O.

Ответ: Центр вписанной окружности — это точка O, полученная в результате пересечения двух (или трех) биссектрис углов треугольника.

Точки касания — это основания перпендикуляров, опущенных из центра вписанной окружности (точки O) на стороны треугольника. Расстояние от центра до любой из сторон является радиусом вписанной окружности.

1. Возьмите угольник (треугольник с прямым углом).
2. Приложите один из катетов угольника к стороне AB треугольника.
3. Двигайте угольник вдоль стороны AB до тех пор, пока второй катет не пройдет через точку O (центр окружности).
4. Проведите по этому катету отрезок из точки O до пересечения со стороной AB. Точка пересечения (назовем ее $K_1$) является точкой касания. Этот отрезок $OK_1$ — радиус вписанной окружности.
5. Повторите эту процедуру для двух других сторон (BC и AC), чтобы найти точки касания $K_2$ и $K_3$ соответственно.

Ответ: Точки касания $K_1$, $K_2$ и $K_3$ найдены как основания перпендикуляров, проведенных из центра O к сторонам AB, BC и AC с помощью угольника.

Чтобы вписать окружность, нам нужны ее центр и радиус. Центр O мы нашли в пункте 1, а радиус $r$ равен длине любого из перпендикуляров, построенных в пункте 2 (например, $r = |OK_1|$).

1. Возьмите циркуль.
2. Установите иглу циркуля в найденный центр окружности — точку O.
3. Раствор циркуля установите равным расстоянию от точки O до любой из найденных точек касания (например, до точки $K_1$). Это будет радиус вписанной окружности.
4. Начертите окружность. Если все построения были выполнены точно, окружность коснется всех трех сторон треугольника в точках $K_1$, $K_2$ и $K_3$.

Ответ: Окружность с центром в точке O и радиусом $r = |OK_1|$ вписана в треугольник ABC.

612. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и радиусу вписанной окружности.

613. Начертите равнобедренный треугольник. Выполните задания 1, 2 и 3 из задания 612.

Сначала начертим равнобедренный треугольник $ABC$. В этом треугольнике боковые стороны равны, $AB = BC$, а сторона $AC$ является основанием. Согласно свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

Далее выполним задания, указанные в условии, для этого треугольника.

Первое задание — построить биссектрисы углов треугольника. Биссектриса — это отрезок, выходящий из вершины угла и делящий его пополам.

• Проведем биссектрису угла $\angle B$, противолежащего основанию. Обозначим ее $BK$. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой. Это значит, что точка $K$ — середина стороны $AC$, а отрезок $BK$ перпендикулярен основанию $AC$ ($BK \perp AC$). Линия, содержащая $BK$, является осью симметрии треугольника.
• Проведем биссектрисы углов при основании, $\angle A$ и $\angle C$. Обозначим их $AL$ и $CM$ соответственно.
• Так как углы при основании равны ($\angle A = \angle C$), то и биссектрисы, проведенные из этих вершин к боковым сторонам, равны по длине: $AL = CM$.
• Все три биссектрисы треугольника ($BK$, $AL$ и $CM$) пересекаются в одной точке, которая называется инцентром (центром вписанной окружности). В равнобедренном треугольнике эта точка всегда лежит на оси симметрии $BK$.

Ответ: Построены биссектрисы $BK$, $AL$, $CM$. Биссектриса $BK$, проведенная к основанию, совпадает с медианой и высотой. Все биссектрисы пересекаются в одной точке, лежащей на высоте $BK$.

Второе задание — построить медианы треугольника. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

• Проведем медиану из вершины $B$ к основанию $AC$. Для этого находим середину $AC$ (точку $K$) и соединяем ее с вершиной $B$. Эта медиана $BK$ в равнобедренном треугольнике совпадает с биссектрисой и высотой, проведенными из той же вершины.
• Проведем медианы из вершин $A$ и $C$. Для этого найдем середину стороны $BC$ (точку $L'$) и проведем медиану $AL'$. Затем найдем середину стороны $AB$ (точку $M'$) и проведем медиану $CM'$.
• Поскольку боковые стороны равны ($AB = BC$), медианы, проведенные к ним, также равны по длине: $AL' = CM'$.
• Все три медианы ($BK$, $AL'$ и $CM'$) пересекаются в одной точке, которая называется центроидом треугольника. Эта точка также лежит на оси симметрии $BK$.

Ответ: Построены медианы $BK$, $AL'$, $CM'$. Медиана $BK$, проведенная к основанию, является также биссектрисой и высотой. Все медианы пересекаются в одной точке (центроиде), лежащей на высоте $BK$.

Третье задание — построить высоты треугольника. Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону.

• Проведем высоту из вершины $B$ на основание $AC$. Эта высота $BK$ совпадает с медианой и биссектрисой, проведенными к основанию, то есть $BK \perp AC$.
• Проведем высоты из вершин $A$ и $C$ к боковым сторонам. Из вершины $A$ опустим перпендикуляр $AH$ на сторону $BC$ ($AH \perp BC$). Из вершины $C$ опустим перпендикуляр $CF$ на сторону $AB$ ($CF \perp AB$).
• В равнобедренном треугольнике высоты, проведенные к равным боковым сторонам, равны по длине: $AH = CF$.
• Все три высоты ($BK$, $AH$ и $CF$) пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника. Ортоцентр равнобедренного треугольника также лежит на его оси симметрии $BK$.

Ответ: Построены высоты $BK$, $AH$, $CF$. Высота $BK$, проведенная к основанию, совпадает с медианой и биссектрисой. Все высоты пересекаются в одной точке (ортоцентре), лежащей на высоте $BK$.

613. Постройте треугольник по радиусу вписанной окружности и отрезкам, на которые точка касания вписанной окружности делит одну из сторон.

614. На каком из рисунков 348, а, б, в, изображена окружность, описанная около треугольника?

Рис. 348

а

б

в

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все три его вершины. Треугольник при этом называется вписанным в окружность. Рассмотрим каждый из предложенных рисунков, чтобы определить, какой из них соответствует этому определению.

а) На этом рисунке треугольник находится внутри окружности, но его вершины не лежат на самой окружности. Таким образом, окружность не проходит через все вершины треугольника, а значит, не является описанной.

б) На данном рисунке мы видим, что все три вершины треугольника расположены точно на окружности. Это полностью соответствует определению окружности, описанной около треугольника.

в) На этом рисунке окружность касается всех трех сторон треугольника изнутри. Такая окружность называется вписанной в треугольник, а не описанной около него.

Следовательно, единственным рисунком, на котором изображена окружность, описанная около треугольника, является рисунок б.

Ответ: б.

614. Постройте треугольник по стороне и проведённым к этой стороне высоте и медиане.