Страница 151 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Опишите все возможные случаи взаимного расположения прямой и окружности.

Взаимное расположение прямой и окружности на плоскости зависит от соотношения между расстоянием от центра окружности до прямой ($d$) и радиусом окружности ($R$). Существует три возможных случая:

1. Прямая и окружность не имеют общих точек.

Этот случай реализуется, когда расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса. Прямая проходит "мимо" окружности, не задевая её.

Математическое условие: $d > R$.

Ответ: Прямая и окружность не имеют общих точек, если расстояние от центра до прямой больше радиуса ($d > R$).

2. Прямая и окружность имеют одну общую точку (касание).

Этот случай реализуется, когда расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу. Прямая и окружность имеют ровно одну общую точку, называемую точкой касания. Такая прямая называется касательной к окружности. Свойство касательной: радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Математическое условие: $d = R$.

Ответ: Прямая и окружность имеют одну общую точку, если расстояние от центра до прямой равно радиусу ($d = R$).

3. Прямая и окружность имеют две общие точки (пересечение).

Этот случай реализуется, когда расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса. Прямая проходит "сквозь" окружность, пересекая её в двух местах. Такая прямая называется секущей. Отрезок секущей, расположенный внутри окружности, является её хордой.

Математическое условие: $d < R$.

Ответ: Прямая и окружность имеют две общие точки, если расстояние от центра до прямой меньше радиуса ($d < R$).

3. Опишите все возможные случаи взаимного расположения прямой и окружности.

4. Какую прямую называют касательной к окружности?

Касательной к окружности называют прямую, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку. Эта единственная общая точка называется точкой касания.

Основное свойство касательной заключается в том, что она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Например, если прямая a касается окружности с центром в точке O в точке A, то радиус OA перпендикулярен прямой a. Математически это записывается так: $OA \perp a$.

Существует также признак касательной, который является обратным утверждением: если прямая проходит через точку на окружности и перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то эта прямая является касательной к данной окружности.

В отличие от секущей, которая пересекает окружность в двух точках, касательная лишь "прикасается" к ней в одной-единственной точке.

Ответ: Касательной к окружности называют прямую, имеющую с окружностью ровно одну общую точку.

4. Какую прямую называют касательной к окружности?

5. Каким свойством обладает радиус, проведённый в точку касания прямой и окружности?

Радиус, проведённый в точку касания прямой и окружности, обладает следующим свойством: он перпендикулярен касательной прямой. Это означает, что угол между радиусом и касательной в точке их соприкосновения составляет $90^\circ$.

Это свойство можно доказать методом от противного. Пусть окружность с центром в точке $O$ касается прямой $a$ в точке $A$. Тогда $OA$ — радиус, проведённый в точку касания. Предположим, что $OA$ не перпендикулярен прямой $a$. В таком случае из точки $O$ можно опустить на прямую $a$ перпендикуляр $OH$, основание которого (точка $H$) не совпадает с точкой $A$.

В получившемся прямоугольном треугольнике $\triangle OHA$ (с прямым углом при вершине $H$) отрезок $OA$ является гипотенузой, а $OH$ — катетом. Как известно, гипотенуза всегда длиннее катета, следовательно, $OA > OH$.

Поскольку $OA$ — это радиус окружности ($R$), то получается, что расстояние от центра окружности до точки $H$ на прямой $a$ меньше радиуса ($OH < R$). Это означает, что точка $H$ лежит внутри окружности. Но если прямая $a$ проходит через точку $H$ внутри окружности, она должна пересекать окружность в двух точках, то есть быть секущей. Это противоречит условию, что прямая $a$ является касательной и имеет с окружностью лишь одну общую точку $A$.

Таким образом, исходное предположение неверно, и радиус $OA$ должен быть перпендикулярен касательной $a$.

Ответ: Радиус, проведённый в точку касания прямой и окружности, перпендикулярен этой касательной прямой. Угол между ними равен $90^\circ$.

5. Каким свойством обладает радиус, проведённый в точку касания прямой и окружности?

6. Сформулируйте признак касательной к окружности.

Признак касательной к окружности формулируется следующим образом: если прямая, проходящая через точку, лежащую на окружности, перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то эта прямая является касательной к данной окружности.

Доказательство:

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть точка $A$ лежит на этой окружности. Через точку $A$ проведена прямая $a$ так, что радиус $OA$ перпендикулярен прямой $a$ (то есть $OA \perp a$).

Требуется доказать, что прямая $a$ является касательной к окружности, то есть имеет с ней только одну общую точку — точку $A$.

Возьмём на прямой $a$ любую точку $M$, отличную от точки $A$. Соединим точку $M$ с центром окружности $O$ и рассмотрим треугольник $OAM$.

По условию, $OA \perp a$, следовательно, треугольник $OAM$ является прямоугольным, где $OA$ — это катет, а $OM$ — гипотенуза.

Известно, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее любого из катетов. Следовательно, длина отрезка $OM$ больше длины отрезка $OA$: $OM > OA$.

Поскольку точка $A$ лежит на окружности, отрезок $OA$ является её радиусом, то есть $OA = R$. Таким образом, $OM > R$.

Это означает, что расстояние от центра окружности $O$ до любой точки $M$ на прямой $a$ (кроме точки $A$) больше радиуса. Значит, все эти точки лежат вне окружности.

Таким образом, прямая $a$ имеет с окружностью только одну общую точку — $A$. По определению, прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, является касательной. Теорема доказана.

Ответ: Если прямая проходит через точку на окружности и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то она является касательной к этой окружности.

6. Сформулируйте признак касательной к окружности.

7. Каким свойством обладают касательные, проведённые к окружности через одну точку?

Касательные, проведённые к окружности через одну точку, лежащую вне окружности, обладают следующим свойством:

Свойство: отрезки касательных, проведённые из одной точки к окружности, равны между собой. Кроме того, прямая, соединяющая эту точку с центром окружности, является биссектрисой угла, образованного касательными.

Доказательство:

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Возьмём точку $A$, лежащую вне этой окружности. Проведём из точки $A$ две касательные к окружности, которые касаются её в точках $B$ и $C$. Нам необходимо доказать, что отрезки $AB$ и $AC$ равны, то есть $AB = AC$.

1. Соединим центр окружности $O$ с точками касания $B$ и $C$, а также с точкой $A$. В результате получим два треугольника: $\triangle OBA$ и $\triangle OCA$.

2. Рассмотрим эти треугольники. Согласно свойству касательной, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, углы $\angle OBA$ и $\angle OCA$ являются прямыми: $\angle OBA = \angle OCA = 90^\circ$. Таким образом, треугольники $\triangle OBA$ и $\triangle OCA$ являются прямоугольными.

3. В этих прямоугольных треугольниках:

• Катеты $OB$ и $OC$ равны, так как они являются радиусами одной и той же окружности ($OB = OC = r$).
• Гипотенуза $OA$ является общей стороной для обоих треугольников.

4. Поскольку прямоугольные треугольники $\triangle OBA$ и $\triangle OCA$ имеют равные катеты ($OB=OC$) и общую гипотенузу ($OA$), они равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).

5. Из равенства треугольников ($\triangle OBA \cong \triangle OCA$) следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны их катеты $AB$ и $AC$, то есть $AB = AC$. Также равны и углы $\angle BAO$ и $\angle CAO$, что доказывает, что луч $AO$ является биссектрисой угла $\angle BAC$.

Таким образом, свойство полностью доказано.

Ответ: Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны между собой.

7. Каким свойством обладают касательные, проведённые к окружности через одну точку?

573. Начертите окружность с центром $O$, проведите хорду $AB$. Пользуясь угольником, разделите эту хорду пополам.

Чтобы разделить хорду пополам с помощью угольника, необходимо выполнить следующие построения, основанные на свойстве радиуса, перпендикулярного хорде.

План построения:

1. Начертить окружность с центром в точке $O$.
2. Провести в этой окружности произвольную хорду $AB$. Хорда не должна быть диаметром, так как в этом случае она уже разделена пополам центром окружности.
3. Взять угольник (треугольник с прямым углом).
4. Приложить одну из сторон угольника, образующих прямой угол, к хорде $AB$.
5. Перемещать угольник вдоль хорды $AB$ до тех пор, пока вторая сторона угольника, образующая прямой угол, не совпадет с центром окружности $O$.
6. Провести из точки $O$ перпендикуляр к хорде $AB$ вдоль этой стороны угольника. Обозначим точку пересечения перпендикуляра с хордой $AB$ как точку $M$.

Обоснование:

Мы построили отрезок $OM$ так, что $OM \perp AB$. В окружности радиус (или его часть), перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам. Следовательно, точка $M$ является серединой хорды $AB$, и $AM = MB$.

Ответ: Для того чтобы разделить хорду $AB$ пополам, нужно с помощью угольника провести из центра окружности $O$ перпендикуляр к этой хорде. Точка пересечения этого перпендикуляра с хордой и будет её серединой.

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

Рис. 312

573. В квадрате ABCD вырезали заштрихованную фигуру (рис. 312). Разделите оставшуюся часть квадрата на четыре равные фигуры.

574. Начертите окружность с центром $O$, проведите хорду $CD$. Пользуясь линейкой со шкалой, проведите диаметр, перпендикулярный хорде $CD$.

Для построения диаметра, перпендикулярного хорде $CD$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертите окружность с центром в точке $O$.

2. Внутри окружности проведите произвольную хорду $CD$, соединив две точки $C$ и $D$ на окружности.

3. С помощью линейки со шкалой измерьте длину хорды $CD$.

4. Найдите середину хорды $CD$. Для этого разделите ее длину пополам и отметьте на хорде точку $M$ на этом расстоянии от одного из концов (например, от точки $C$). Точка $M$ будет серединой отрезка $CD$, так что $CM = MD$.

5. Используя линейку, проведите прямую через центр окружности $O$ и найденную середину хорды $M$.

6. Прямая, проходящая через точки $O$ и $M$, пересекает окружность в двух точках и является диаметром, перпендикулярным хорде $CD$.

Обоснование:
Соединим центр окружности $O$ с концами хорды $C$ и $D$. Получим треугольник $\triangle COD$.
В этом треугольнике стороны $OC$ и $OD$ равны, так как они являются радиусами одной и той же окружности ($OC = OD$). Следовательно, треугольник $\triangle COD$ — равнобедренный с основанием $CD$.
Отрезок $OM$, по построению, соединяет вершину $O$ с серединой основания $M$. Таким образом, $OM$ является медианой треугольника $\triangle COD$.
Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Отсюда следует, что $OM$ перпендикулярен $CD$ ($OM \perp CD$).
Так как построенная прямая проходит через центр окружности $O$, она является диаметром. Таким образом, мы построили диаметр, перпендикулярный хорде $CD$.

Ответ: Необходимо найти середину $M$ хорды $CD$ с помощью линейки со шкалой и провести прямую через центр окружности $O$ и точку $M$. Полученная прямая будет содержать диаметр, перпендикулярный хорде $CD$.

574. Начертите:

1) острый угол;

2) тупой угол.

Постройте угол, равный начерченному.

575. Начертите окружность, отметьте на ней точки $A$ и $B$. Пользуясь линейкой и угольником, проведите прямые, которые касаются окружности в точках $A$ и $B$.

Для построения касательных к окружности в заданных точках A и B, необходимо использовать основное свойство касательной: касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Пусть у нас есть окружность с центром в точке О (если центр не указан, его можно найти, например, как точку пересечения серединных перпендикуляров к двум любым непараллельным хордам). На окружности отмечены точки А и В.

Последовательность действий для построения касательной в точке А (для точки В действия аналогичны):

1. С помощью линейки соединяем центр окружности О и точку А. Получаем отрезок ОА, который является радиусом окружности.
2. Берем угольник и прикладываем один из его катетов (сторону, образующую прямой угол) к радиусу ОА.
3. К другому катету угольника плотно прикладываем линейку.
4. Крепко держим линейку, чтобы она не сдвигалась, и перемещаем (скользим) угольник вдоль линейки до тех пор, пока его первый катет не окажется на точке А.
5. Проводим прямую вдоль этого катета через точку А.

Построенная прямая будет перпендикулярна радиусу ОА в его конце, лежащем на окружности. Следовательно, эта прямая является касательной к окружности в точке А. Обозначим ее $a$. Таким образом, $a \perp OA$.

Точно так же строим касательную в точке В:

1. Проводим радиус ОВ.
2. Прикладываем угольник и линейку к радиусу ОВ так же, как в шагах 2 и 3.
3. Перемещаем угольник вдоль линейки до совмещения его катета с точкой В.
4. Проводим прямую через точку В вдоль катета угольника.

Эта прямая (обозначим ее $b$) будет касательной к окружности в точке В, так как по построению она перпендикулярна радиусу ОВ ($b \perp OB$).

Ответ: Касательные в точках А и В построены путем проведения прямых, перпендикулярных радиусам ОА и ОВ в точках А и В соответственно, с использованием линейки и угольника.

575. Начертите острый угол $ABC$ и проведите луч $DK$. Постройте угол $MDK$ такой, что $\angle MDK = 2\angle ABC$.

576. Проведите прямую $a$ и отметьте на ней точку $M$. Пользуясь угольником, линейкой и циркулем, проведите окружность радиуса 3 см, которая касается прямой $a$ в точке $M$. Сколько таких окружностей можно провести?

Для построения окружности, которая касается прямой $a$ в точке $M$, необходимо найти ее центр. Согласно свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен самой касательной. Это означает, что центр искомой окружности должен лежать на прямой, проходящей через точку $M$ перпендикулярно прямой $a$.

Алгоритм построения следующий:

1. С помощью линейки проводим прямую $a$ и отмечаем на ней точку $M$.

2. Используя угольник, прикладываем его одной стороной прямого угла к прямой $a$ так, чтобы вторая сторона проходила через точку $M$. Проводим вдоль этой второй стороны прямую $p$. Прямая $p$ будет перпендикулярна прямой $a$ в точке $M$.

3. Центр окружности должен находиться на прямой $p$ на расстоянии, равном радиусу (3 см), от точки $M$. Таких точек на прямой $p$ две: одна находится по одну сторону от прямой $a$, а другая — по другую. С помощью линейки откладываем от точки $M$ по прямой $p$ в обе стороны отрезки длиной 3 см и отмечаем их концы как $O_1$ и $O_2$.

4. Устанавливаем раствор циркуля равным 3 см. Ставим ножку циркуля в точку $O_1$ и проводим окружность. Эта окружность будет иметь радиус 3 см и касаться прямой $a$ в точке $M$.

5. Аналогично, ставим ножку циркуля в точку $O_2$ и проводим вторую окружность с тем же радиусом. Она также будет касаться прямой $a$ в точке $M$.

Таким образом, мы нашли две точки ($O_1$ и $O_2$), которые могут служить центрами окружностей, удовлетворяющих условиям задачи. Следовательно, можно построить две такие окружности, расположенные по разные стороны от прямой $a$.

Ответ: можно провести две окружности.

576. Разделите данный отрезок на четыре равные части.

577. На рисунке 336 точка $O$ — центр окружности, диаметр $CD$ перпендикулярен хорде $AB$. Докажите, что $\angle AOD = \angle BOD$.

Рис. 336

Рассмотрим треугольники $ΔAOD$ и $ΔBOD$. Для того чтобы доказать равенство углов $∠AOD$ и $∠BOD$, докажем, что треугольники $ΔAOD$ и $ΔBOD$ равны.

1. Сравним стороны $OA$ и $OB$. Обе эти стороны являются радиусами одной и той же окружности с центром в точке $O$. Следовательно, их длины равны: $OA = OB$.

2. Сторона $OD$ является общей для обоих треугольников, $ΔAOD$ и $ΔBOD$.

3. Сравним стороны $AD$ и $BD$. Для этого сначала рассмотрим треугольник $ΔAOB$. Так как $OA = OB$ (как радиусы), то $ΔAOB$ является равнобедренным с основанием $AB$.

Пусть $M$ — точка пересечения диаметра $CD$ и хорды $AB$. По условию задачи, $CD \perp AB$. Это означает, что отрезок $OM$ является высотой, проведенной из вершины $O$ к основанию $AB$ равнобедренного треугольника $AOB$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, $M$ — середина отрезка $AB$, то есть $AM = MB$.

Теперь рассмотрим треугольники $ΔAMD$ и $ΔBMD$. Они оба являются прямоугольными, поскольку $CD \perp AB$, а значит $∠AMD = ∠BMD = 90^\circ$. В этих треугольниках катет $AM$ равен катету $MB$ (как доказано выше), а катет $MD$ является общим. Таким образом, $ΔAMD = ΔBMD$ по двум катетам. Из равенства этих треугольников следует равенство их гипотенуз: $AD = BD$.

Итак, мы установили, что для треугольников $ΔAOD$ и $ΔBOD$ выполняются следующие равенства сторон:

$OA = OB$

$OD$ — общая сторона

$AD = BD$

Следовательно, треугольник $ΔAOD$ равен треугольнику $ΔBOD$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Поскольку треугольники $ΔAOD$ и $ΔBOD$ равны, то равны и их соответствующие углы. Значит, $∠AOD = ∠BOD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $∠AOD = ∠BOD$ доказано.

577. Начертите произвольный угол. Разделите его на четыре равные части.

578. Можно ли утверждать, что прямая, перпендикулярная радиусу окружности, касается этой окружности?

Нет, это утверждение в общем случае неверно. Оно справедливо только при одном дополнительном условии.

Свойство касательной к окружности гласит: касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. В вопросе же не указано, в какой точке прямая перпендикулярна радиусу. Рассмотрим возможные случаи.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $OA$ — один из ее радиусов ($OA = R$).

1. Прямая перпендикулярна радиусу в точке, лежащей на окружности.
Если прямая $a$ проходит через точку $A$ и перпендикулярна радиусу $OA$, то расстояние от центра окружности $O$ до прямой $a$ равно длине перпендикуляра, то есть $OA = R$. Прямая, расстояние от которой до центра окружности равно радиусу, имеет с окружностью ровно одну общую точку. Следовательно, в этом случае прямая $a$ является касательной.

2. Прямая перпендикулярна радиусу в точке, лежащей внутри окружности.
Если прямая $b$ перпендикулярна радиусу $OA$ в некоторой точке $M$, лежащей между точками $O$ и $A$, то расстояние от центра $O$ до прямой $b$ равно $OM$. Так как точка $M$ лежит внутри окружности, то $OM < R$. Прямая, расстояние от которой до центра окружности меньше радиуса, пересекает окружность в двух точках, то есть является секущей, а не касательной.

Таким образом, утверждение, что любая прямая, перпендикулярная радиусу, является касательной, неверно. Необходимо уточнение, что прямая должна проходить через конец радиуса, лежащий на окружности.

Ответ: Нет, утверждать этого нельзя. Прямая, перпендикулярная радиусу, касается окружности только в том случае, если она проходит через конец радиуса, который лежит на самой окружности. В других случаях она либо пересекает окружность в двух точках (является секущей), либо не имеет с ней общих точек.

578. Постройте угол, равный: 1) $45^\circ$; 2) $60^\circ$; 3) $75^\circ$; 4) $120^\circ$.

579. Прямая AB касается окружности с центром O в точке C (рис. 337). Найдите:

1) угол OCD, если $ \angle BCD = 28^{\circ} $;

2) угол ACD, если $ \angle OCD = 55^{\circ} $.

Рис. 337

1)

Согласно свойству касательной к окружности, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. В нашем случае, радиус $OC$ перпендикулярен касательной $AB$ в точке $C$. Это означает, что угол между радиусом $OC$ и касательной $AB$ равен $90^\circ$.

Рассмотрим угол $ \angle OCB $, который образован радиусом $OC$ и частью касательной $CB$. Его величина составляет $90^\circ$.

$ \angle OCB = 90^\circ $

Из рисунка видно, что угол $ \angle OCB $ состоит из двух углов: $ \angle OCD $ и $ \angle BCD $. Следовательно, можно записать равенство:

$ \angle OCB = \angle OCD + \angle BCD $

По условию задачи, $ \angle BCD = 28^\circ $. Подставим известные значения в уравнение:

$ 90^\circ = \angle OCD + 28^\circ $

Выразим из этого уравнения искомый угол $ \angle OCD $:

$ \angle OCD = 90^\circ - 28^\circ = 62^\circ $

Ответ: $62^\circ$

2)

Как и в предыдущем пункте, воспользуемся свойством о перпендикулярности радиуса и касательной в точке касания. Радиус $OC$ перпендикулярен касательной $AB$, поэтому угол, образованный радиусом и касательной, равен $90^\circ$.

Рассмотрим угол $ \angle OCA $, образованный радиусом $OC$ и частью касательной $CA$:

$ \angle OCA = 90^\circ $

Этот угол, как видно из рисунка, является суммой двух углов: $ \angle OCD $ и $ \angle ACD $.

$ \angle OCA = \angle OCD + \angle ACD $

В условии этого пункта дано, что $ \angle OCD = 55^\circ $. Подставим известные величины:

$ 90^\circ = 55^\circ + \angle ACD $

Найдем неизвестный угол $ \angle ACD $:

$ \angle ACD = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ $

Ответ: $35^\circ$

579. Постройте угол, равный:

1) $30^\circ$

2) $22^\circ 30'$

3) $15^\circ$

580. Прямая $CD$ касается окружности с центром $O$ в точке $A$, отрезок $AB$ – хорда окружности, $\angle BAD = 35^{\circ}$ (рис. 338). Найдите угол $AOB$.

Поскольку прямая $CD$ является касательной к окружности с центром в точке $O$ в точке $A$, то радиус $OA$, проведенный в точку касания, перпендикулярен этой касательной. Следовательно, угол между радиусом $OA$ и прямой $CD$ равен $90^\circ$. Таким образом, $\angle OAD = 90^\circ$.

Угол $\angle OAD$ складывается из двух углов: $\angle OAB$ и $\angle BAD$. По условию задачи нам известно, что $\angle BAD = 35^\circ$. Мы можем записать равенство: $\angle OAD = \angle OAB + \angle BAD$. Подставив известные значения, получим: $90^\circ = \angle OAB + 35^\circ$. Из этого уравнения мы можем найти величину угла $\angle OAB$: $\angle OAB = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Стороны $OA$ и $OB$ этого треугольника являются радиусами одной и той же окружности, а значит, они равны: $OA = OB$. Следовательно, треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным с основанием $AB$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В треугольнике $\triangle AOB$ углами при основании являются $\angle OAB$ и $\angle OBA$. Таким образом, $\angle OBA = \angle OAB = 55^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Для треугольника $\triangle AOB$ это можно записать так: $\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ$. Подставим значения найденных углов: $\angle AOB + 55^\circ + 55^\circ = 180^\circ$. $\angle AOB + 110^\circ = 180^\circ$.

Наконец, найдем искомый угол $\angle AOB$: $\angle AOB = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

Ответ: $70^\circ$.

580. Начертите:

1) остроугольный треугольник

2) тупоугольный треугольник

Постройте все высоты этого треугольника.