Страница 146 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

548. Отрезки $AC$ и $AB$ соответственно диаметр и хорда окружности с центром $O$, $\angle BAC = 26^\circ$ (рис. 326). Найдите угол $BOC$.

Рис. 326

Рассмотрим треугольник $ \triangle AOB $. Поскольку $O$ — центр окружности, отрезки $OA$ и $OB$ являются её радиусами. Следовательно, $OA = OB$. Это означает, что треугольник $ \triangle AOB $ является равнобедренным с основанием $AB$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Таким образом, $ \angle OBA = \angle OAB $. Из условия задачи мы знаем, что $ \angle BAC = 26^\circ $. Так как угол $ \angle OAB $ — это тот же самый угол, что и $ \angle BAC $, то $ \angle OAB = 26^\circ $. Отсюда следует, что и $ \angle OBA = 26^\circ $.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Для треугольника $ \triangle AOB $ справедливо равенство:$ \angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ $Подставим известные значения углов:$ \angle AOB + 26^\circ + 26^\circ = 180^\circ $$ \angle AOB + 52^\circ = 180^\circ $$ \angle AOB = 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ $

По условию, $AC$ — диаметр окружности, значит, точки $A$, $O$ и $C$ лежат на одной прямой. Угол $ \angle AOC $ является развернутым, и его величина равна $180^\circ$. Этот угол состоит из двух смежных углов: $ \angle AOB $ и $ \angle BOC $.Следовательно, $ \angle AOB + \angle BOC = \angle AOC = 180^\circ $.

Теперь мы можем найти искомый угол $ \angle BOC $:$ \angle BOC = 180^\circ - \angle AOB $$ \angle BOC = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ $

Ответ: $52^\circ$.

548. Докажите, что центр описанной окружности равностороннего треугольника является точкой пересечения его биссектрис.

549. Отрезки $MP$ и $MK$ соответственно хорда и диаметр окружности с центром $O$, $\angle POK = 84^\circ$ (рис. 327). Найдите угол $MPO$.

Рис. 327

Рассмотрим треугольник $MPO$. Поскольку отрезки $OM$ и $OP$ являются радиусами окружности с центром в точке $O$, они равны между собой: $OM = OP$.

Это означает, что треугольник $MPO$ является равнобедренным с основанием $MP$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle MPO = \angle OMP$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Для треугольника $MPO$ справедливо равенство:$\angle MPO + \angle OMP + \angle MOP = 180^\circ$.

Так как $\angle MPO = \angle OMP$, мы можем переписать это уравнение следующим образом:$2 \cdot \angle MPO + \angle MOP = 180^\circ$.

Из этого уравнения можно выразить искомый угол $\angle MPO$:$\angle MPO = \frac{180^\circ - \angle MOP}{2}$.

Теперь необходимо найти угол $\angle MOP$. Из условия задачи известно, что $MK$ — это диаметр. Следовательно, угол $\angle MOK$ является развернутым и его величина равна $180^\circ$. Углы $\angle MOP$ и $\angle POK$ являются смежными, поэтому их сумма равна величине развернутого угла:$\angle MOP + \angle POK = 180^\circ$.

По условию $\angle POK = 84^\circ$. Найдем величину угла $\angle MOP$:$\angle MOP = 180^\circ - \angle POK = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ$.

Подставим найденное значение $\angle MOP$ в формулу для вычисления угла $\angle MPO$:$\angle MPO = \frac{180^\circ - 96^\circ}{2} = \frac{84^\circ}{2} = 42^\circ$.

Ответ: $42^\circ$.

549. На рисунке 305 в треугольники $ABD$ и $CBD$ вписаны окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно. Докажите, что $\angle O_1DO_2$ – прямой.

Рис. 305

550. Отрезки $AB$ и $AC$ соответственно диаметр и хорда окружности с центром $O$, хорда $AC$ равна радиусу этой окружности. Найдите угол $BAC$.

Рассмотрим треугольник $AOC$, где $O$ — центр окружности, а $A$ и $C$ — точки на окружности.

По условию, отрезок $AB$ является диаметром, а $O$ — центром окружности. Это значит, что точка $O$ лежит на отрезке $AB$, и отрезок $AO$ является радиусом окружности. Обозначим радиус как $R$, тогда $AO = R$.

Отрезок $OC$ также является радиусом, поскольку он соединяет центр окружности $O$ с точкой $C$ на окружности. Следовательно, $OC = R$.

По условию задачи, хорда $AC$ равна радиусу этой окружности, то есть $AC = R$.

Таким образом, в треугольнике $AOC$ все три стороны равны друг другу: $AO = OC = AC = R$.

Треугольник, у которого все стороны равны, является равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$.

Следовательно, угол $OAC$, который является одним из углов треугольника $AOC$, равен $60^\circ$.

Так как точка $O$ лежит на диаметре $AB$, угол $BAC$ совпадает с углом $OAC$.

Значит, $∠BAC = ∠OAC = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

550. На рисунке 306 в треугольники $ABD$ и $CBD$ вписаны окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно, $\angle ABC = 50^\circ$. Найдите угол $\angle O_1BO_2$.

Рис. 306

551. Отрезки $AB$ и $BC$ – соответственно диаметр и хорда окружности с центром $O$, $\angle ABC = 60^\circ$, $AB = 12$ см. Найдите хорду $BC$.

Рассмотрим треугольник $ABC$, вершины которого лежат на окружности. По условию, отрезок $AB$ является диаметром этой окружности.

Угол $\angle ACB$ является вписанным углом, который опирается на диаметр $AB$. Согласно свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр, его величина равна $90^\circ$. Таким образом, треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом $C$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ нам известны:

• Гипотенуза $AB = 12$ см.
• Острый угол $\angle ABC = 60^\circ$.

Хорда $BC$ является катетом, прилежащим к углу $\angle ABC$. Для нахождения длины этого катета можно использовать определение косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике:

$\cos(\angle ABC) = \frac{BC}{AB}$

Подставим известные значения в формулу:

$\cos(60^\circ) = \frac{BC}{12}$

Зная, что значение косинуса $60^\circ$ равно $\frac{1}{2}$, получаем уравнение:

$\frac{1}{2} = \frac{BC}{12}$

Отсюда находим длину $BC$:

$BC = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

Ответ: 6 см.

551. Через центр $O$ окружности, описанной около треугольника $ABC$, провели прямую, перпендикулярную стороне $AC$ и пересекающую сторону $AB$ в точке $M$. Докажите, что $AM=MC$.

552. Отрезок CD – диаметр окружности с центром O. На окружности отметили точку E так, что $\angle COE = 90^\circ$. Докажите, что $CE = DE$.

Рассмотрим треугольники $\triangle COE$ и $\triangle DOE$.

1. Так как $CD$ – диаметр окружности с центром в точке $O$, а точка $E$ лежит на этой окружности, то отрезки $OC$, $OD$ и $OE$ являются радиусами данной окружности. Следовательно, их длины равны:

$OC = OD = OE$

2. Поскольку точки $C$, $O$, $D$ лежат на одной прямой (диаметре), угол $\angle COD$ является развернутым, то есть $\angle COD = 180^\circ$. Этот угол образован двумя смежными углами $\angle COE$ и $\angle DOE$.

3. По условию задачи $\angle COE = 90^\circ$. Найдем величину угла $\angle DOE$:

$\angle DOE = \angle COD - \angle COE = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

4. Теперь сравним треугольники $\triangle COE$ и $\triangle DOE$. В этих треугольниках:

- Сторона $OC$ равна стороне $OD$ (как радиусы).
- Сторона $OE$ является общей.
- Угол $\angle COE$ равен углу $\angle DOE$ (оба равны $90^\circ$).

Таким образом, треугольник $\triangle COE$ равен треугольнику $\triangle DOE$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $CE$ в $\triangle COE$ соответствует стороне $DE$ в $\triangle DOE$.

Ответ: $CE = DE$, что и требовалось доказать.

552. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$ (рис. 307), касается его сторон в точках $M$, $K$ и $E$, $BK = 2$ см, $KC = 4$ см, $AM = 8$ см. Найдите периметр треугольника $ABC$.

Рис. 307

553. Отрезок MK – диаметр окружности с центром O. На окружности отметили точку C так, что $MC = CK$. Докажите, что $\angle MCO = \angle KCO$.

Дано:
Окружность с центром в точке $O$.
$MK$ — диаметр окружности.
$C$ — точка на окружности.
$MC = CK$.

Доказать:
$\angle MCO = \angle KCO$.

Доказательство:

Для доказательства равенства углов $\angle MCO$ и $\angle KCO$ рассмотрим треугольники $\triangle MCO$ и $\triangle KCO$.

1. Стороны $MO$ и $KO$ равны, так как точки $M$ и $K$ лежат на окружности, а точка $O$ является её центром. Следовательно, $MO$ и $KO$ — радиусы одной и той же окружности. Таким образом, $MO = KO$.

2. Стороны $MC$ и $CK$ равны по условию задачи: $MC = CK$.

3. Сторона $OC$ является общей для обоих треугольников $\triangle MCO$ и $\triangle KCO$.

Поскольку три стороны одного треугольника ($\triangle MCO$) соответственно равны трём сторонам другого треугольника ($\triangle KCO$), эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Из равенства треугольников $\triangle MCO = \triangle KCO$ следует равенство их соответствующих углов. Угол $\angle MCO$ лежит напротив стороны $MO$ в треугольнике $\triangle MCO$. Угол $\angle KCO$ лежит напротив стороны $KO$ в треугольнике $\triangle KCO$. Так как стороны $MO$ и $KO$ равны, то и противолежащие им углы $\angle MCO$ и $\angle KCO$ также равны.

Следовательно, $\angle MCO = \angle KCO$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle MCO = \angle KCO$ доказано путём доказательства равенства треугольников $\triangle MCO$ и $\triangle KCO$ по трём сторонам.

553. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон в точках $M$, $K$ и $E$, $AM = 13$ см, $BK = 3$ см, периметр треугольника $ABC$ равен 46 см. Найдите длину стороны $AC$.

554. Чему равен диаметр окружности, если известно, что он на 4 см больше радиуса данной окружности?

Обозначим диаметр окружности как $d$, а радиус как $r$.

По определению, диаметр окружности всегда в два раза больше ее радиуса. Это соотношение можно выразить формулой:

$d = 2r$

Согласно условию задачи, диаметр на 4 см больше радиуса. Это можно записать в виде следующего уравнения:

$d = r + 4$

Поскольку левые части обоих уравнений равны ($d$), мы можем приравнять их правые части:

$2r = r + 4$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти радиус. Вычтем $r$ из обеих частей уравнения:

$2r - r = 4$

$r = 4$

Таким образом, радиус окружности равен 4 см.

Чтобы найти диаметр, подставим значение радиуса ($r = 4$ см) в первую формулу:

$d = 2 \times r = 2 \times 4 = 8$ см

Проверим, соответствует ли это условию задачи: диаметр (8 см) действительно на 4 см больше радиуса (4 см), так как $8 - 4 = 4$.

Ответ: 8 см.

554. Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, принадлежит его высоте, то этот треугольник равнобедренный.

555. Через концы диаметра $AB$ окружности с центром $O$ проведены хорды $AC$ и $BD$ такие, что $AC \parallel BD$. Докажите, что $AC = BD$.

Рассмотрим треугольники $ \triangle AOC $ и $ \triangle BOD $.

Поскольку $ AB $ - это диаметр окружности с центром в точке $ O $, отрезки $ OA $ и $ OB $ являются радиусами. Точки $ C $ и $ D $ также лежат на окружности, следовательно, $ OC $ и $ OD $ - тоже радиусы. Таким образом, $ OA = OB = OC = OD = R $, где $ R $ - радиус окружности.

В треугольнике $ \triangle AOC $ стороны $ OA $ и $ OC $ равны как радиусы, поэтому $ \triangle AOC $ - равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит $ \angle OAC = \angle OCA $.

Аналогично, в треугольнике $ \triangle BOD $ стороны $ OB $ и $ OD $ равны как радиусы, поэтому $ \triangle BOD $ - равнобедренный. Следовательно, углы при его основании равны: $ \angle OBD = \angle ODB $.

По условию задачи, хорды $ AC $ и $ BD $ параллельны ($ AC \parallel BD $). Диаметр $ AB $ является секущей для этих параллельных прямых. При пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны. Поэтому $ \angle CAB = \angle ABD $.

Заметим, что $ \angle CAB $ - это тот же угол, что и $ \angle OAC $, а $ \angle ABD $ - тот же угол, что и $ \angle OBD $. Из этого следует, что $ \angle OAC = \angle OBD $.

Объединяя полученные равенства углов, имеем: $ \angle OAC = \angle OCA = \angle OBD = \angle ODB $.

Теперь найдем величины углов при вершине $ O $ в наших треугольниках. Сумма углов в любом треугольнике составляет $ 180^\circ $.

Для $ \triangle AOC $: $ \angle AOC = 180^\circ - (\angle OAC + \angle OCA) = 180^\circ - 2 \cdot \angle OAC $.

Для $ \triangle BOD $: $ \angle BOD = 180^\circ - (\angle OBD + \angle ODB) = 180^\circ - 2 \cdot \angle OBD $.

Так как мы установили, что $ \angle OAC = \angle OBD $, то из последних двух выражений следует, что $ \angle AOC = \angle BOD $.

Теперь мы можем сравнить треугольники $ \triangle AOC $ и $ \triangle BOD $. Они равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

1. $ OA = OB $ (как радиусы одной окружности);
2. $ OC = OD $ (как радиусы одной окружности);
3. $ \angle AOC = \angle BOD $ (как доказано выше).

Из равенства треугольников ($ \triangle AOC \cong \triangle BOD $) следует равенство их соответствующих сторон. В частности, сторона $ AC $ треугольника $ \triangle AOC $ равна соответствующей стороне $ BD $ треугольника $ \triangle BOD $.

Таким образом, $ AC = BD $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AC=BD$ доказано.

555. Докажите, что если центр окружности, вписанной в треугольник, принадлежит его медиане, то этот треугольник равнобедренный.

556. Отрезки $AB$ и $CD$ – диаметры окружности. Докажите, что $AC \parallel BD$.

Пусть O — центр окружности. Поскольку отрезки AB и CD являются диаметрами, они пересекаются в центре окружности O и делятся им пополам. Следовательно, $OA = OB = OC = OD$ как радиусы одной и той же окружности.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$. В этих треугольниках:
• $OA = OB$ (как радиусы);
• $OC = OD$ (как радиусы);
• $\angle AOC = \angle BOD$ (как вертикальные углы).

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle AOC \cong \triangle BOD$.

Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих углов, а именно $\angle OAC = \angle OBD$.

Углы $\angle OAC$ и $\angle OBD$ являются накрест лежащими при пересечении прямых AC и BD секущей AB.

Так как накрест лежащие углы равны, то по признаку параллельности прямых, прямые AC и BD параллельны.

Таким образом, $AC \parallel BD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $AC \parallel BD$.

556. Докажите, что если центры вписанной и описанной окружностей треугольника совпадают, то этот треугольник равносторонний.

557. Хорда пересекает диаметр окружности под углом $30^{\circ}$ и делит его на отрезки длиной 4 см и 10 см. Найдите расстояние от центра окружности до этой хорды.

Пусть дан диаметр $AB$ и хорда $CD$, которые пересекаются в точке $P$ под углом $30^{\circ}$. По условию, точка $P$ делит диаметр на отрезки длиной 4 см и 10 см.

1. Найдем длину диаметра и радиус окружности.Длина диаметра $AB$ равна сумме длин отрезков, на которые он разделен:$AB = 4 \text{ см} + 10 \text{ см} = 14 \text{ см}$.Радиус окружности $R$ равен половине диаметра:$R = \frac{AB}{2} = \frac{14}{2} = 7 \text{ см}$.

2. Найдем расстояние от центра окружности $O$ до точки пересечения $P$.Центр окружности $O$ является серединой диаметра $AB$. Расстояние от центра до одного из концов диаметра (например, до точки $A$) равно радиусу: $OA = R = 7$ см.Предположим, что отрезок $AP$ имеет длину 4 см. Тогда расстояние от центра $O$ до точки пересечения $P$ будет равно:$OP = OA - AP = 7 - 4 = 3 \text{ см}$.(Проверка: $OP = PB - OB = 10 - 7 = 3$ см, что подтверждает наш расчет).

3. Найдем искомое расстояние от центра окружности до хорды.Расстояние от центра окружности до хорды — это длина перпендикуляра, опущенного из центра $O$ на хорду $CD$. Обозначим основание этого перпендикуляра как $H$. Таким образом, нам нужно найти длину отрезка $OH$, где $OH \perp CD$.Рассмотрим треугольник $\triangle OPH$. Он является прямоугольным, так как $\angle OHP = 90^{\circ}$ по построению. В этом треугольнике нам известны:

• гипотенуза $OP = 3$ см;
• угол $\angle OPH = 30^{\circ}$ (это угол между хордой и диаметром).

Катет $OH$ лежит напротив угла в $30^{\circ}$. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы. Следовательно:$OH = \frac{1}{2} \cdot OP = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1,5 \text{ см}$.

Ответ: 1,5 см.

557. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 7 : 5, считая от вершины треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 68 см.

558. Отрезки $AB$ и $CD$ – диаметры окружности. Угол между прямыми $AB$ и $CD$ равен $30^\circ$. Найдите расстояние от точки $C$ до прямой $AB$, если диаметр окружности равен $10$ см.

Пусть O — центр окружности. Так как отрезки AB и CD являются диаметрами, они пересекаются в точке O. Следовательно, отрезки OA, OB, OC и OD являются радиусами окружности.

По условию, диаметр окружности равен 10 см, значит, ее радиус R равен:
$R = OC = \frac{10}{2} = 5$ см.

Угол между прямыми AB и CD равен 30°. Это означает, что один из углов, образованных при пересечении диаметров в точке O, равен 30°. Возьмем острый угол между ними, пусть это будет $\angle AOC = 30^\circ$.

Расстояние от точки C до прямой AB — это длина перпендикуляра, опущенного из точки C на прямую AB. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой H. Таким образом, искомое расстояние — это длина отрезка CH.

Рассмотрим треугольник $\triangle OCH$. Он является прямоугольным, так как $CH \perp AB$ по построению, и, следовательно, $\angle CHO = 90^\circ$. В этом треугольнике:

• гипотенуза $OC$ является радиусом и равна 5 см;
• угол $\angle COH$ совпадает с углом $\angle AOC$, то есть $\angle COH = 30^\circ$;
• катет $CH$ — искомое расстояние.

В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу, равен произведению гипотенузы на синус этого угла. Таким образом, мы можем записать:
$CH = OC \cdot \sin(\angle COH)$

Подставим известные значения:
$CH = 5 \cdot \sin(30^\circ)$

Зная, что значение синуса 30° равно $\frac{1}{2}$, находим длину CH:
$CH = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2,5$ см.

Ответ: 2,5 см.

558. Периметр треугольника $ABC$, описанного около окружности, равен 52 см. Точка касания со стороной $AB$ делит эту сторону в отношении $2 : 3$, считая от вершины $A$. Точка касания со стороной $BC$ удалена от вершины $C$ на 6 см. Найдите стороны треугольника.

559. Найдите геометрическое место центров окружностей данного радиуса, проходящих через данную точку.

Пусть дана точка $A$ и заданный радиус $R > 0$. Мы ищем геометрическое место точек $O$, которые являются центрами окружностей радиуса $R$, проходящих через точку $A$.

По определению, окружность — это множество всех точек плоскости, находящихся на заданном расстоянии (радиусе) от заданной точки (центра).

Если окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$ проходит через точку $A$, это означает, что точка $A$ принадлежит этой окружности. Следовательно, расстояние от центра $O$ до точки $A$ должно быть равно радиусу $R$.

Это условие можно записать в виде формулы: $|OA| = R$.

Таким образом, все искомые центры $O$ должны быть равноудалены от данной точки $A$ на расстояние $R$.

Множество всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, и есть окружность. В нашем случае центром этой окружности будет данная точка $A$, а ее радиусом — данный радиус $R$.

Следовательно, геометрическое место центров окружностей данного радиуса, проходящих через данную точку, — это окружность с центром в этой данной точке и радиусом, равным данному радиусу.

Ответ: Окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному радиусу.

559. В треугольник с углами $30^\circ$, $70^\circ$ и $80^\circ$ вписана окружность. Найдите углы треугольника, вершины которого являются точками касания вписанной окружности со сторонами данного треугольника.

560. Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки.

Пусть даны две различные точки, назовем их $A$ и $B$.

Искомое геометрическое место точек — это множество всех точек $O$, которые могут быть центрами окружностей, проходящих через точки $A$ и $B$.

Если окружность с центром в точке $O$ проходит через точки $A$ и $B$, то расстояния от центра до этих точек равны радиусу $R$ этой окружности. Таким образом, должно выполняться равенство:

$OA = OB = R$

Это означает, что любая точка $O$, принадлежащая искомому геометрическому месту, должна быть равноудалена от точек $A$ и $B$.

Множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек ($A$ и $B$), представляет собой прямую, перпендикулярную отрезку $AB$ и проходящую через его середину. Эта прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.

Докажем, что искомое геометрическое место точек в точности совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.

1. Возьмем любую окружность, проходящую через точки $A$ и $B$. Пусть ее центр находится в точке $O$. Так как $A$ и $B$ лежат на окружности, то $OA = OB$. Следовательно, точка $O$ равноудалена от $A$ и $B$, а значит, по определению, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$.

2. Возьмем любую точку $O$ на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. По свойству серединного перпендикуляра, эта точка равноудалена от концов отрезка: $OA = OB$. Если мы проведем окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA$, то она пройдет через точку $A$ и через точку $B$, так как $OB$ тоже равно $R$.

Таким образом, мы показали, что любая точка из искомого множества центров лежит на серединном перпендикуляре, и любая точка на серединном перпендикуляре принадлежит этому множеству. Следовательно, эти два множества совпадают.

Ответ: Геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки, есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки.

560. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник $ABC$, касается его боковых сторон $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Докажите, что $MN \parallel AC$.

561. Найдите ГМТ, равноудалённых от двух данных пересекающихся прямых.

Пусть даны две пересекающиеся прямые, обозначим их $a$ и $b$. Точку их пересечения обозначим $O$. Искомое геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек плоскости, расстояние от которых до прямой $a$ равно расстоянию до прямой $b$.

Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Пусть $M$ — произвольная точка, принадлежащая искомому ГМТ. Опустим из точки $M$ перпендикуляры $MP$ на прямую $a$ (точка $P$ лежит на $a$) и $MQ$ на прямую $b$ (точка $Q$ лежит на $b$). Согласно условию, точка $M$ равноудалена от прямых $a$ и $b$, что означает $MP = MQ$.

Сначала докажем, что любая точка искомого ГМТ лежит на биссектрисе одного из углов, образованных прямыми $a$ и $b$. Если точка $M$ совпадает с точкой пересечения $O$, то расстояние от нее до обеих прямых равно нулю, и она принадлежит ГМТ. Если точка $M$ не совпадает с $O$, соединим ее с точкой $O$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OPM$ и $\triangle OQM$. У них общая гипотенуза $OM$ и равные катеты $MP$ и $MQ$ по условию. Следовательно, треугольники равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство углов $\angle POM = \angle QOM$. Это означает, что луч $OM$ является биссектрисой угла, образованного лучами $OP$ и $OQ$.

Теперь докажем обратное утверждение: любая точка, лежащая на биссектрисе угла, образованного прямыми $a$ и $b$, равноудалена от этих прямых. Пусть точка $M$ лежит на биссектрисе $OM$ одного из углов, образованных прямыми $a$ и $b$. Опустим из $M$ перпендикуляры $MP$ на $a$ и $MQ$ на $b$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OPM$ и $\triangle OQM$. У них общая гипотенуза $OM$ и равные острые углы $\angle POM = \angle QOM$, так как $OM$ — биссектриса. Следовательно, треугольники равны по гипотенузе и острому углу. Из этого следует равенство катетов $MP = MQ$. Значит, точка $M$ равноудалена от прямых $a$ и $b$.

Две пересекающиеся прямые образуют четыре угла: две пары равных вертикальных углов и четыре пары смежных углов. Биссектрисы каждой пары вертикальных углов лежат на одной прямой, образуя одну из биссектрис углов между прямыми. Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны. Таким образом, искомое ГМТ состоит из двух взаимно перпендикулярных прямых, которые являются биссектрисами всех углов, образованных при пересечении данных прямых.

Ответ: Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных пересекающихся прямых, — это пара взаимно перпендикулярных прямых, являющихся биссектрисами углов, образованных данными прямыми.

561. Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, принадлежит его стороне, то этот треугольник — прямоугольный.