Номер 548, страница 146 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 20. Геометрическое место точек. Окружность и круг. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 548, страница 146.

548. Отрезки $AC$ и $AB$ соответственно диаметр и хорда окружности с центром $O$, $\angle BAC = 26^\circ$ (рис. 326). Найдите угол $BOC$.

Рис. 326

Рассмотрим треугольник $ \triangle AOB $. Поскольку $O$ — центр окружности, отрезки $OA$ и $OB$ являются её радиусами. Следовательно, $OA = OB$. Это означает, что треугольник $ \triangle AOB $ является равнобедренным с основанием $AB$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Таким образом, $ \angle OBA = \angle OAB $. Из условия задачи мы знаем, что $ \angle BAC = 26^\circ $. Так как угол $ \angle OAB $ — это тот же самый угол, что и $ \angle BAC $, то $ \angle OAB = 26^\circ $. Отсюда следует, что и $ \angle OBA = 26^\circ $.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Для треугольника $ \triangle AOB $ справедливо равенство:$ \angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ $Подставим известные значения углов:$ \angle AOB + 26^\circ + 26^\circ = 180^\circ $$ \angle AOB + 52^\circ = 180^\circ $$ \angle AOB = 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ $

По условию, $AC$ — диаметр окружности, значит, точки $A$, $O$ и $C$ лежат на одной прямой. Угол $ \angle AOC $ является развернутым, и его величина равна $180^\circ$. Этот угол состоит из двух смежных углов: $ \angle AOB $ и $ \angle BOC $.Следовательно, $ \angle AOB + \angle BOC = \angle AOC = 180^\circ $.

Теперь мы можем найти искомый угол $ \angle BOC $:$ \angle BOC = 180^\circ - \angle AOB $$ \angle BOC = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ $

Ответ: $52^\circ$.

548. Докажите, что центр описанной окружности равностороннего треугольника является точкой пересечения его биссектрис.